第14讲 拟合.ppt

文档介绍：数学建模与数学实验
后勤工程学院数学教研室
拟合
实验目的
实验内容
2、掌握用数学软件求解拟合问题。
1、直观了解拟合基本内容。
1、拟合问题引例及基本理论。
4、实验作业。
2、用数学软件求解拟合问题。
3、应用实例
拟合

1. 拟合问题引例
拟合问题引例 1
温度t(0C)
电阻R() 765 826 873 942 1032
已知热敏电阻数据:
求600C时的电阻R。
设 R=at+b
a,b为待定系数
拟合问题引例 2
t (h) 1 2 3 4 6 8
c (g/ml)
已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg)
求血药浓度随时间的变化规律c(t).
作半对数坐标系(semilogy)下的图形
MATLAB(aa1)
曲线拟合问题的提法
已知一组(二维)数据,即平面上 n个点(xi,yi) i=1,…n, 寻求一个函数(曲线)y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所有数据点最为接近,即曲线拟合得最好。
+
+
+
+
+
+
+
+
+
x
y
y=f(x)
(xi,yi)
i
i 为点(xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
拟合与插值的关系
说明:
函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似,由于近似的要求不同,二者的数学方法上完全不同。
实例:下面数据是某次实验所得,希望得到x和 f之间的关系?
)
问题:给定一批数据点,需确定满足特定要求的曲线或曲面
解决方案:
若不要求曲线(面)通过所有数据点,而是要求它反映对象整体的变化趋势,就是数据拟合,又称曲线拟合或曲面拟合。
若要求所求曲线(面)通过所给所有数据点,就是插值问题;
最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果:
曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路
第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), …rm(x), m<n, 令
f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x) (1)
其中 a1,a2, …am 为待定系数。
第二步: 确定a1,a2, …am 的准则(最小二乘准则):
使n个点(xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离i 的平方和最小。
记
问题归结为,求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。
线性最小二乘法的求解:预备知识
超定方程组:方程个数大于未知量个数的方程组
即 Ra=y
其中
超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。
如果有向量a使得达到最小,
则称a为上述超定方程的最小二乘解。