文档介绍：第三节可数集合
第一章集合及其基数
注:A可数当且仅当
A可以写成无穷序列的形式{a1, a2, a3, …}
1, 2, 3, 4, 5, 6,…
a1, a2, a3, a4, a5, a6, …
例:1)Z = {0,1,-1,2,-2,3,-3, …}
与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集,其基数记为
1可数集的定义
2)[0,1]中的有理数全体
={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …}
假设这是一个无限集M
我们可以取出其中一个点a1
显然M\{a1}还是无限集
在M\{a1}中可以取出一点a2
显然M\{a1,a2}还是无限集
我们可以取出一个可数子集{a1,a2,a3,...}
任何无限集合均含有可数子集
(即可数集是无限集中具有最小势的的集合)
2 可数集的性质(子集)
可数集的子集或为有限集或为可数集
推论
可数集的性质(并集)
有限集与可数集的并仍为可数集
A={a1, a2, a3, a4, a5, a6, …}
当集合有公共元素时,
不重复排。
假设A,B,C两两不交,则
A∪B={ b1, b2, b3 , …, bn ,a1, a2, a3, …}
可数个可数集的并仍为可数集
有限个可数集的并仍为可数集
C= {c1, c2, c3, c4, c5, c6, …}
B={b1, b2, b3, …,bn}
A∪C={ c1, a1, c2, a2, c3, a3, …}
当Ai互不相交时,按箭头所示,我们得到一个无穷序列;
当Ai有公共元时,在排列的过程中除去公共元素;
A1
A2
A3
A4
可数个可数集的并 仍为可数集的证明
说明:
与Hilbert旅馆问题比较;
如何把无限集分解成无
限个无限集合的并?
首先[0,1]中的有理数全体
={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …}是可数集,
例全体有理数之集Q是可数集
[ ][ ][ ][ ][ ][ ]
-2 -1 0 1 2 3 4
所以Q是可数集(可数个可数集的并)
说明:有理数集在直线上稠密,但仍与稀疏分布在直线上
的整数集有相同多的点(对等意义下).
有限个可数集的卡氏积是可数集
设A,B是可数集,则A×B也是可数集
从而A×B也是可数集(可数个可数集的并)
利用数学归纳法即得有限个乘积的情形
3 可数集的性质(卡氏积)
x固定,y在变
例平面上以有理点为圆心,有理数为半径的圆全体A为可数集
证明:平面上的圆由其圆心(x,y) 和半径 r 唯一决定,从而
r
(x,y)
例
有限集与可数集的并仍为可数集
可数集并可数集仍为可数集
A
A\M
M
B