第七节 迭代法及其收敛性.ppt

文档介绍：第七节迭代法及其收敛性
一迭代法的一般格式
所谓迭代法就是对任意给定初始近似按某种
规则逐次生成序列
使极限
为方程组Ax=b 的解,即
矩阵A 分解成矩阵N 和P 之差 A=N-P 其中N为非奇异矩阵,于是方程组 Ax=b 便可以表示成
Nx=Px+b 即
其中
二迭代法的收敛性
定理1
1) 迭代格式 x(k+1) = Bx(k) + f 收敛
 lim B k =O;
2) 迭代格式 x(k+1) = Bx(k) + f 收敛
( B )<1。
证
1)设 lim x (k) =x*,
则 x* = Bx* + f ,
据此,我们便可以建立迭代公式
我们称此迭代公式中的B 为迭代矩阵
x (k+1) -x*= B( x (k) -x*),
x (k) -x*= B k( x (0) -x*) ,
故 lim x (k) =x*  lim B k =O;
2)存在 k ,使|| B k || <1,
[( B )]k = (B k )||B k ||<1,
故( B )<1,
因( B )=inf {|| B ||},存在>0 使
|| B ||( B )+<1,
又|| B k ||||B ||k ,
故 lim B k =0。
证
因( B )|| B||< 1,所以迭代收敛。
设 lim x (k) =x*,由 x(k+1) = Bx(k) + f ,
得 x* = Bx* + f ,则
定理 2
若||B ||<1,则迭代格式
x(k+1) = Bx(k) + f 收敛,且
三迭代法的收敛速度
故
从而
||x(k+1) -x(k)|| =||( x(k+1) -x*)-( x(k) -x*)||
|| x(k) -x* ||-|| x(k+1) -x*||
x(k+1) -x*= B( x(k) -x* ) , x(k+1) –x(k)= B( x(k) –x(k-1) )