文档介绍：第三章平面与空间直线
主要内容
1、平面的方程
2、平面与点的相关位置
3、两平面的相关位置
4、空间直线的方程
5、直线与平面的相关位置
6、空间两直线的相关位置
7、空间直线与点的相关位置
8、平面束
第一节平面及其方程
一、由平面上一点与平面的方向矢量决定的平面的方程
1、方向矢量
在空间给定一个点M0与两个不共线的矢量a,b,则
通过点M0且与a,b平行的平面就被唯一确定。矢量a,
b称为平面的方向矢量。
显然,任何一对与平面平行的不共线矢量都可作
为平面的方向矢量。
2、平面的矢量式参数方程
在空间,取标架{O;e1,e2,e3},并设点M0的径矢
OM0=r0,平面上的任意一点M的径矢为OM=r,
M0M=ua+vb
又因为
M0M=r-r0
所以
r-r0= ua+vb
即
r=r0+ ua+vb (1)
方程(1)称为平面的矢量式参数方程。
b
x
y
z
a
M0
M
O
r0
r
显然
点M在平面上的充要条件为矢量M0M与a,b,面,因为a,b不共线,所以这个共面的条件可写成:
3、平面的坐标式参数方程
若设M0,M的坐标分别为(x0,y0,z0),(x,y,z),则
r0={x0,y0,z0},r={x,y,z}
并设
a={X1,Y1,Z1},b={X2,Y2,Z2}
则由(1)可得
(2)式称为平面的坐标式参数方程。
r=r0+ ua+vb (1)
例1、已知不共线的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),
M3(x3,y3,z3),求过这三点的平面的方程。
解:
r2-r1=M1M2={x2-x1,y2-y1,z2-z1},
因此,平面的矢量式参数方程为
r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1) (3)
坐标式参数方程为
设M(x,y,z)是平面上任意一点,已知点为Mi的
径矢为ri=OMi,则可取方向矢量为
r3-r1=M1M3={x3-x1,y3-y1,z3-z1},
从(3),(4)中分别消去参数u,v可得:
(r-r1,r2-r1,r3-r1)=0 (5)
与
或
(5)(6)(7)都有叫做平面的三点式方程。
特别地,若平面与三坐标轴的交点分别为M1(a,0,0)
M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中abc≠0,则平面的方程为
称为平面的截距式方程。
其中a,b,c分别称为平面在
三坐标轴上的截距。
x
z
y
M1
M2
M3
o
如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的法线向量.
法线向量的特征:
垂直于平面内的任一向量.
二、平面的点法式方程
1. 法向量:
注: 1对平面, 法向量n不唯一;
2平面的法向量n与上任一向量垂直.
2. 平面的点法式方程
设平面过定点 M0(x0, y0, z0), 且有法向量n={A,B, C}.
对于平面上任一点M(x, y, z), 向量M0M与n垂直.
y
x
z
M0
M
n
O
n M0 M = 0
而M0 M ={x x0, y y0, z z0},
得:
A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0
称方程(1) 为平面的点法式方程.
(1)
例1: 求过点(2, 3, 0)且以 n = {1, 2, 3}为法向量的平面的方程.
解: 根据平面的点法式方程(1), 可得平面方程为:
1 (x 2) 2 (y + 3) + 3 (z 0) = 0
即: x 2y + 3z 8 = 0