文档介绍：§ 平面束
定义空间中通过同一条直线的所有平面的集合叫做有轴平面束,那么直线叫做平面束的轴.
交于一条直线L,那么以直线L为轴的有轴平面束的方程是:
其中l,m是不全为零的任意实数.
(2)
(1)
定理如果两个平面
证首先证明,当任取两个不全为零 l, m 的值时,(-1)表示一个平面.
把(-1)改写为
l
-1
(-1`)
这里的系数不能全
为零,这是因为如果全为零,即
那么得
这和π1与π2是两相交平面的假设矛盾,因此(-1`)
是一个关于x,y,z的一次方程,所以(-1`) 或(-1)
表示一个平面。
通过直线L的平面,也就是(-1)总表示直线L为轴的平面束中的平面.
下面说明,平面π1 与π2的交线L满足方程(-1)
因为平面π1 与π2的交线L上点的坐标同时满足方程(1)与(2),
(2)
(1)
从而必满足方程(-1).
所以(-1)总代表
反过来,证明对于以直线L为轴的平面束中任意一个
平面π,我们都能确定l,m使平面π的方程为(-1)的
形式。
为此只要在平面π上选取不属于轴L的任一点(x0,y0,z0),那么由(-1)表示的平面要通过点(x0,y0,z0)的条件是
所以
l
M0
而(x0,y0,z0)不在轴L上,
(-1)的形式
所以A1x0+B1y0+C1z0+D1,
A2x0+B2y0+C2z0+D2不能全为零,
因此平面π的方程可写为
定理如果两个平面
为平行平面,即A1:A2=B1:B2=C1:C2,那么方程(-1), 即
定义空间中平行于同一平面的所有平面的集合叫做平行平面束.
-1,证明略
表示平行平面束,
平面束里任何一个平面都和平面π1
或π2平行,
其中l,m是不全为零的任意实数,且
-m:l≠A1:A2=B1:B2=C1:C2.
推论:
由平面π:Ax+By+Cz+D=0决定的平行平面束
的方程是:
Ax+By+Cz+λ=0
其中λ是任意实数.
例1 求通过直线且与平面x+y+z-1=0垂直
的平面方程。
即
由两平面垂直的条件A1A2+B1B2+C1C2=0,得
即
因此
所求平面方程为
解设所求平面方程为:
即
例2 求与平面3x+y-z+4=0平行且在Oz轴上截距等于-2的平面方程.
解可设所求平面方程为:
3x+y-z+λ=0,
因平面在z轴上截距为-2,
所以这平面通过点(0,0,-2),
由此得:
2+λ=0,
∴λ=-2,
因此所求方程为:
3x+y-z-2=0