文档介绍：练习
:
解:(1)一阶(2)一阶(3)一阶(4)二阶
,并指出哪些是特解
哪些是通解。( 为任意常数)
c, c1 , c 2
解:(1)不是解(2)特解(3)通解(4)不是解
,其中为任意常数
c, c1 , c 2
解:(1)直接求式子求导,可得(x 2 − yx )y′+ y 2 = 0
(2)直接求式子求两次导,可得 y′′+ y′− 2y = 0
练习
:
dy
(1)解: = cos xdx
y 2
两边同时积分
1 1
−= sin x + c ⇒ y = −
y sin x + c
  ¡
dy 2
(2)解: = 2xdx ⇒ ln y = x 2 + c ⇒ y = c ⋅ e x
y
(3)解法一:
−+ = ⇒−+ =
dx dy d( xy ) 0 x y xy c
⇒(x− 1)( y + 1) = c或(1 − x )(1 + y ) = c
解法二:
dy dx
=令η=1 +y , ξ= 1 − x
+ −
1y 1 x
dη d ξ 1 c
= −⇒ lnη= ln + c⇒η= ⇒(1− x )(1 + y ) = c
ηξξξ
x3 x 2 y 3 y 2
(4)解: x 1( + x)dx − y 1( + y)dy = 0 ⇒+ −−= c
3 2 3 2 1
⇒ 2x3+ 3 x 2 − 2 y 3 − 3 y 2 = c
(5)解:e x (e y −)1 dx + e y (e x + )1 dy
⇒−ex dx + e y dy + e x+ y ( dx + dy ) = 0
⇒ ey− e x + e x+ y = c
⇒(ey− 1)( e x + 1) = c
π¢
x(0)= , t = 0
dx 4
(6)解: = et dt⇒ tan x= e t + c⇒ 1= 1 + c = 0⇒ c = 0
cos 2 x
故 tan x = et , x = arctan et
ex y 2
(7)解: ydy= dx⇒=ln(1 + ex ) + c
1+ ex 2
£ 1 1
令 x=1, y (1) = 1⇒= ln(1 + e ) + c⇒ c= − ln(1 + e )
2 2
故 y 2 = 2ln( 1+ e x ) +1− 2ln( 1+ e)
dy dx
(8)解: + = 0⇒ lny+ arctan x = c
y1+ x 2
¥
¤ ππ
令 x=1, y (1) = 1 0 + = c⇒ c =
4 4
π
故 ln y + arctan x =
4
:
y
dy y dy du
(1)解: = x 令u = ⇒= x + u
dx y x dx dx
−1
x
du u 1
⇒ x + u = ⇒ ln( 2u − u 2 ) = ln x + c
dx u −1 2 1
⇒ 2u− u2 = c ⋅ x 2⇒ 2 xy− y 2 = c
y ¦ du
(2)解:令u = x + u = 2 u + u
x dx
du dx
= , u=ln x + c
2 u x
u = (ln x + c) 2 ⇒ y = x(ln x + c)2
y du
(3)解:令u = ⇒ x + u − u − 1+ u 2 = 0
x dx
du = dx + + 2 = +
⇒⇒ ln( u 1 u ) ln x c1
1+ u 2 x
⇒ u + 1+ u 2 = cx ⇒ y + x 2 + y 2 = cx 2
y du u
(4)解:令u=, x = sin u⇒ ln tan= ln x + c
x dx 2
§ π
x=1, u =
2
⇒ ln1= ln1 + c⇒ c = 0
⇒ u = 2arctan x ⇒ y = 2x arctan x
x dx du
(5)解:令 u = 则= y ⋅+ u
y dy dy
du 1− 3u 2 du 1− 5u 2
化简得 y ⋅+ u = ⇒ y ⋅=