文档介绍：§一、基本QR方法
60年代出现的QR算法是目前计算中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效方法。实矩阵、非奇异。
理论依据:任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积,而且当R的对角元符号取定时,分解是唯一的。
可证,在一定条件下,基本QR方法产生的矩阵序列{A(k)} “基本”收敛于一个上三角阵(或分块上三角阵)。即主对角线(或主对角线子块)及其以下元素均收敛,主对角线(或主对角线子块)以上元素可以不收敛。特别的,如果A是实对称阵,则
{A(k)} “基本”收敛于对角矩阵。
因为上三角阵的主对角元(或分块上三角阵中,主对角线子块的特征值)即为该矩阵的特征值,故当k充分大时, A(k)的主对角元(或主对角线子块的特征值)就可以作为A的特征值的近似。
基本的QR方法的主要运算是对矩阵QR分解,分解的方法有多种。介绍一种Schmit正交化方法。
基本QR方法每次迭代都需作一次QR分解与矩阵乘法,计算量大,而且收敛速度慢。因此实际使用的QR方法是先用一系列相似变换将A化成拟上三角矩阵(称为上Hessenberg矩阵),然后对此矩阵用基本QR方法。因为拟上三角矩阵具有较多零元素,故可减少运算量。化A为相似的拟上三角阵的方法有多种。
二、豪斯豪尔德(Householder)变换
三、化一般矩阵为拟上三角阵