第二章 ，第二节 开集与闭集.ppt

文档介绍：第二节开集与闭集
第二章 n 维空间中的点集
⒋开集、闭集
P0为 E的接触点:
P0为 E的聚点:
P0为 E的内点:
说明:要证E是开集,只要证
要证E是闭集,只要证
若Eº = E , 则称E为开集(E中每个点都为内点)
若,则称E为闭集(与E紧挨的点不跑到E外)
例:开区间(a,b)为开集
说明:要证E是开集,只要证
a
b
x
证明:任取x∈(a,b),取δ=min{|x-a|,|x-b|},
则,
从而x是(a,b)的内点,
故(a,b)是开集。
例:闭区间[a,b]为闭集
说明: 要证E是闭集,只要证
a b x
证明:任取x∈[a,b]c,取δ=min{|x-a|,|x-b|},
则,
从而x不是[a,b]的接触点,
从而[a,b]的接触点都在[a,b]内,
从而[a,b]是闭集。
注:闭集为对极限运算封闭的点集
即:A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点
利用:
p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列{pn}, 使得
或
p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列{pn}, 使得
若(或),则称E为闭集。
(与E接近的点不跑到E外)
Eº为开集
注: Eº为含于E内的最大开集
E
从而y为E的内点,从而
所以x为Eº的内点,即
证明:只要证
任取,由内点的定义知
任取,取
E`为闭集
E
证明:只要证
任取,由聚点的定义知
E`为闭集
注: 为包含E的最小闭集
E
从而
即x为E的聚点,从而
⑵开集与闭集的对偶性
P0为 E的接触点:
P0为 E的聚点:
P0为 E的内点:
P0为 E的外点:
,则Ec为闭集;
若E为闭集,则Ec为开集。
a.
开集的余集是闭集
P0为 E的接触点:
P0为 E的内点:
从而x不是Ec的接触点,
也即Ec的接触点一定在Ec内,
从而,即Ec为闭集。
证明:设E为开集,即
从而