文档介绍：第三节 Lesbesgue积分与Riemann积分的关系
第五章积分论
yi
yi-1
Lesbesgue积分对值域作分划
xi-1 xi
Riemann积分对定义域作分划
本节主要内容:
若f(x) Riemann可积,则f(x)在[a,b]上Lebesgue可积,且积分值相等
f(x) Riemann可积当且仅当f(x) 的不连续点全体为零测度集
Riemann可积的充要条件
f(x)在[a,b]上Riemann可积
Darboux上、下积分
对[a,b]作分划序列
令(对每个i及n)
Darboux上积分
Darboux下积分
xi-1 xi
引理:设f(x)在[a,b]上为有界函数,记ω(x)为[a,b]上的振幅函数,则
故ω(x)为[a,b]上的可测函数,从而f(x) L可积。
证明:由于f(x)在[a,b]上为有界函数,
故ω(x)为[a,b]上有界函数,
又对任意实数t, 为闭集,
xi-1 xi
作函数列
对[a,b]作分划序列
xi-1 xi
引理的证明
引理的证明
xi-1 xi
引理的证明
从而结
论成立
xi-1 xi
定理:有界函数f(x)在[a,b]上Riemann可积的
充要条件是f(x)在[a,b]上的不连续点全体为零
测度集
教材p-104有另一种证明
证明:若f(x) Riemann可积,则f(x) 的
Darboux上、下积分相等,
上述过程反之也成立。
从而f(x)在[a,b]上的不连续点全体为零测度集,
引理:设f(x) 是E上有限实函数,则f(x)在x0∈E
处连续的充要条件是f(x)在x0处的振幅为0
证明参照教材p-102