文档介绍：第二节 Lesbesgue积分的极限定理
第五章积分论

只要证明大于等于,但一般而
言fn(x)不会跑到f(x)上方,所以
我们有必要先把f(x)下移一点。
f(x)
cf(x)
fn(x)
注意:当fn(x)一致收敛f(x)时,
fn(x)才会整体跑到f(x)上方。
若fn(x)为E上非负可测函数列,
说明:小于等于显然成立,
因为fn(x)总在f(x)的下方,
Levi逐项积分定理的证明
引理1:设{En}是递增集列, 是Rn上的非负可测简单
函数,则
引理2:设f(x)是E上的非负可测函数,A是E中可测子集,则
证明:由条件知fn(x)为E上非负可测函数递增列,
有定义,且从函数列的渐升性知道
下证大于等于号
Levi逐项积分定理的证明
证明:令c满足0<c<1, 是Rn上的非负可测
简单函数,且
则{En}是递增集列,
由引理1知
cφ(x)
f(x)
fn(x)
φ(x)
Levi逐项积分定理的证明
再由的积分定义知
于是从(应用引理2)
f(x)
φ(x)
cφ(x)
fn(x)
对Levi逐项积分定理的说明
f(x)
fn(x)
fn+1(x)
积分的几何意义(函数非负):
若fn(x)为E上非负可测函数列,
单调增集列测度的性质
(级数形式)
然后利用Levi逐项
积分定理即可
对应于测度的可数可加性
若fn(x)为E上非负可测函数列, 则
对比:积分的线性
(有限个函数作和)
例试求
为非负连续函数,当然为非负可测函数,
定理:若f(x)在[a,b]上Riemann可积,则f(x)在[a,b]上Lebesgue可积,且
例
从而结论成立
则为非负连续函数,当然为可测函数,
从而由Lebesgue逐项积分定理知:

然后利用Lebesgue
逐项积分定理即可
对应于测度的可数可加性
Lebesgue逐项积分定理是关于被积函数
积分的可数可加性是关于积分区域
若f(x)在(En可测且两两不交)
上非负可测或可积,则