第五节 向量与矩阵的范数.ppt

文档介绍：①非负性||x||0 ,等号仅当 x=0 时成立;
②齐次性对任何实数, ||  x||=| |· ||x||;
③三角不等式||x+y||||x|| +||y|| ;
则称||x|| 为向量 x 的范数。
定义1 对任意 n 维向量 x Rn,若对应非负实数
||x|| , 满足
一向量的范数
第五节向量与矩阵的范数
设 x = ( x1 , x2 , …, xn)T ,常用的向量范数有
它们分别叫做向量的-范数、1-范数、2-范数、p -范数(0<p<+)。
不难证明这几种范数满足下述关系
事实上,对 Rn 上任意两种向量范数||x||, ||x||,都存在与 x 无关的正常数 c1 , c2 使
这种性质称为向量范数的等价性。
定义2 对任意n阶方阵 A=(aij)nn,若对应一个非负实数||A|| ,满足
①非负性||A|| 0 且||A||=0当且仅当A=0;
②齐次性对任意实数, ||  A||=| | ||A||;
③三角不等式对任意两个n阶方阵A与B, 有
||A+B|| ||A||+||B||;
④相容性||AB|| ||A|| ||B|| 则称||A|| 为矩阵A的
范数。
二矩阵的范数
常用的矩阵范数有
它们分别叫做矩阵的-范数、1-范数、2-范数。
(矩阵的行范数)
(矩阵的列范数)
max(ATA)为ATA的最大特征值,由于矩阵2-范数与ATA 的特征值有关,所以又称为谱范数。
例4 设
则
求相应各范数。
解
因为
令
得ATA的特征值
故
可见
定义3 设n 阶方阵 A=(aij)nn 的特征值为i , 称
为A的谱半径。并且
例4 设
, 求A的谱半径。
解
得A的特征值
A的谱半径
定理 1 设为与某种向量范数则
定理 2 如果为对称矩阵,则
事实上,
由于
所以也常记为
并称为谱范数。
定理 3 如果则为非奇异矩阵,且