第八章 第六节 边值问题的数值解法.ppt

文档介绍：第六节边值问题的数值解法
本节以二阶微分方程
为例讨论边值问题,其边值条件可分为以下三类
第一边值条件
其中
本节介绍解线性方程边值问题的差分方法以及适用于非线性方程边值问题的试射法.
第二边值条件
第三边值条件
一解线性方程边值问题的差分方法
二阶线性方程组的一般形式为
首先将区间[a,b] 进行等距划分,分点
其中
一般地称与为边界点,称
为内部节点.
一阶导数用一阶中心差商表示,得
其次, 在各个节点上, 将用差商近似表示。这里
要求有相同阶数的截断误差,以保证精度协调。对于内
部节点,二阶导数用二阶中心差商表示,得
假设
,则
于是得方程(1) 的差分方程
(2)
其中
将(2) 整理,可以写成下列形式
其中
(3)
(3)是含有n+1个未知数的线性方程组,方程的个数为n-1。要使方程组(3) 有唯一解,还需要有两个边值条件补充两个方程。
对于第一边值条件,直接得到两个方程
于是得到第一边值问题的差分方程组
=
(5)
这个方程组是三对角方程组,可以利用追赶法求解。
将这两个近似公式代入边值条件中,就得到两个方程,
再与(3) 联立,就可得到对应的差分方程组,用追赶法
解出
对于第二及第三边值条件,由于条件中包含了导数,
所以边值条件也必须用差商来近似表示。为使截断误差达到需要用到牛顿等距差值公式,得
对于边值问题的收敛性,即考虑当时,差分方程组的解是否收敛于微分方程的准确解。以第一边值问题为例,给出如下结论,不加证明。
若
则差分方程组(4) 存在唯一解。且当时,(4)的解收敛于第一边值问题的准确解。
定理
用差分法解边值问题
节点
边值问题的差分方程可写成下列形式
解
例1