文档介绍：第六章多元函数的极值问题
§普通极值问题
n 0 0 n
设 f (x1,L, xn ) 是集合 S Ì R 上的函数, 如果对 P0 = (x1 ,L, xn ) , 存在 P0 在 R 中
0 0
的邻域 U , 使得"P = (x1,L, xn )Î S IU , 恒有 f (x1,L, xn ) £ f (x1 ,L, xn )
0 0 0 0
( f (x1,L, xn ) ³ f (x1 ,L, xn )) , 则 f (x1 ,L,xn ) 称为 f (x1,L, xn ) 在 S 上的局部极大值
(极小值), P0 称为 f (x1,L, xn ) 的局部极大值(极小值)点. 如果 S 是开集, 则 P0 称为普
通极值点. 否则称为条件极值点.
0 0
定理 1: 如果 P0 = (x1 ,L, xn ) 是 f (x1,L, xn ) 的普通极值点, 且 f (x1,L, xn ) 在 P0 存
¶f (x 0,L, x 0 )
在偏导, 则 1 n = 0, i = 1,L,n..
¶xi
0 0 0
证明: P0 是内点, 因而 x1 是一元函数 f (x1,x2 ,L,xn ) 的极值点. 因此
¶f (x 0,L, x 0 )
1 n = 0 .
¶x1
0 0
定义: 设 f (x1,L, xn ) 在区域 D 上处处有偏导. 如果在点 P0 = (x1 ,L, xn ) 成立
0 0 0
¶f (x1 , x2 ,L, xn )
= 0, i = 1,L,n , 则称 P0 为 f (x1,L, xn ) 的判别点.
¶xi
如果 P0 是 f (x1,L, xn ) 的极值点, 则其是 f (x1,L, xn ) 的判别点. 但反之并不成立.
¶f (0,0) ¶f (0,0)
例: 令 f (x, y) = x 2 ­ y 2 , 则= 0, = 0 . 但(0,0) 并不是 f (x, y) 的极
¶x ¶y
值点.
与一元函数相同, 我们需要利用 f (x1,L, xn ) 在判别点处的二阶 Taylor 展开来讨论所
给判别点是否极值点以及是什么样的极值点. 为此我们需要下面引理.
引理: 设n 阶对称矩阵 A 是正定(负定)的, 则存在ε> 0 , 使得对任意(x1,L, xn ) , 恒
1
有
t 2 2 t 2 2
(x1,L, xn )A(x1,L, xn ) ³ ε(x1 +L+ xn ) ((x1,L,xn )A(x1,L, xn ) £ ­ε(x1 +L+ xn )).
n 2 2
证明: R 中单位球面 Sn = {(x1,L, xn ) x1 +L+ xn = 1}是有界闭集, 因而是紧集.
t
Sn 上的函数(x1,L, xn )A(x1,L, xn ) 连续且处处不为零, 因而在 Sn 上达到最小值, 设为ε.
则对任意(x1,L, xn ) ¹ 0 , 恒有
(x ,L,x ) (x ,L,x ) t
1 n A 1 n ³ ε.
2 2 2 2
x1 +L+ xn x1 +L+ xn
引理得证.
0 0
定理 2: 设 P0 = (x1 ,L, xn ) 是 f (x1,L, xn ) 在区域 D 内的判别点. 如果 f (x1,L, xn )
在 P0 的 Hessi矩阵 H f (P0 ) 是正定的, 则 P0 是 f (x1,L, xn ) 的严格极小点; 如果 H f (P0 ) 是
负定的, 则 P0 是 f (x1,L, xn ) 的严格极大点; 如果 H f (P0 ) 是不定的, 则 P0 不是
f (x1,L, xn ) 的极值点.
æ ¶ 2 f (x0 ,L,x 0 ) ö
证明: 设 H (P ) = ç 1 n ÷ 正定, 取ε> 0 满足上面引理. 将 f 在 P 点作
f 0 ç ÷ 0
è ¶xi¶x j ø
0 0
二阶 Taylor 展开, 由(x1 ,L, xn ) 是判别点得
n
0 0 1 2 0 0 æ 0 2 ö
f (x1,L, xn ) ­ f (x1 ,L,xn ) = d f (x1 ,L,xn ) + oçå(xi ­ xi ) ÷
2 è i=1 ø
n
1 0 0 0 0 t æ 0 2 ö
= (x1 ­ x1 ,L,xn ­ xn )H f (P0 )(x1 ­ x1 ,L, xn ­ xn ) + oç