文档介绍：第四章微分中值定理与泰勒公式
一. 设函数 f(x)在闭区间[0, 1]上可微, 对于[0, 1]上每一个 x, 函数 f(x)的值都在开区间(0, 1)
内, 且 xf ≠ 1)(' , 证明: 在(0, 1)内有且仅有一个 x, 使 f(x) = x.
证明: 由条件知 0 < f(x) < 1. 令 F(x) = f (x)-x, 于是 F(0) > 0, F(1) < 0,
所以存在ξ∈(0, 1), 使F(ξ) = 0. 假设存在ξ1, ξ2 ∈(0, 1), 不妨假设ξ2 < ξ1, 满足f(ξ1) = ξ1, f(ξ2)
= ξ2. 于是ξ1-ξ2 = f(ξ1)-f(ξ2) = f ηξ−ξ21 ))((' . (ξ2 < η< ξ1). 所以 f η= 1)(' , 矛盾.
1
二设函数在上连续内可导且证明在内存在一
. f(x) [0, 1] , (0, 1) , ∫2 = fdxxf )0()(3 . : (0, 1)
3
个ξ, 使 f ξ= 0)(' .
1 2 2
证明: = fdxxff ξ 1)((3)(3)0( =−= f ξ)() , 其中ξ满足ξ<< 1 .
∫2 1 1 1 1
3 3 3
由罗尔定理, 存在ξ, 满足 0 < ξ< ξ1, 且 f ξ= 0)(' .
(x)在[1, 2]上有二阶导数, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x-1)2f(x), 证明: 在(1, 2)内
至少存在一个ξ, 使 F ξ= 0)('' .
证明: 由于F(1) = F(2) = 0, 所以存在ξ1, 1 < ξ1 < 2, 满足 F ξ1 = 0)(' . 所以
FF ξ1 == 0)(')1(' .所以存在ξ, 满足 1 < ξ< ξ1, 且 F ξ= 0)('' .
四. 设 f(x)在[0, x](x > 0)上连续, 在(0, x)内可导, 且 f(0) = 0, 试证: 在(0, x)内存在一个ξ, 使
xf += ξ+ fx ξ)(')1ln()1()( .
证明: 令 F(t) = f(t), G(t) = ln(1+t), 在[0, x]上使用柯西定理
− FxF )0()( F ξ)('
= , ξ∈(0, x)
− GxG )0()( G ξ)('
xf )(
所以+= f ξξ)(')1( , 即 xf = + ξ+ fx ξ)(')1ln()1()( .
+ x)1ln(
五. 设 f(x)在[a, b]上可导, 且 ab > 0, 试证: 存在一个ξ∈(a, b), 使
1 n ab n
+= fnf )](')([ ξξξξ n−1
− ab bfaf )()(
证明: 不妨假设 a > 0, b > 0. 令= n xfxxF )()( . 在[a, b]上使用拉格朗日定理
n n =− n−1 + n ξξξξ− abffnafabfb ))]((')([)()(
六. 设函数 f(x), g(x), h(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 证明:存在一个ξ∈(a, b), 使
a