文档介绍：练习
1. 下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件?若满足,
请求使定理结论成立的ε值:
(1) f (x) = 2x 3 − 5x 2 − 2x + 5, [-1,1]
解:∵ f (x) = 2x 3 − 5x 2 − 2x + 5是初等函数,
在其有意义的区间(−∞,+∞) 内连续,
∴在[-1,1] 上连续。
又∵ f ′(x) = 6x 2 −10 x − 2在(-1,1)内可导,
∴ f (x)在(−)1,1 内可导,而 f (−)1 = f )1( = 0
因此 f (x) 在[-1,1] 上满足罗尔定理所有条件。
故有 f ′(ε) = 3(2 ε 2 − 5ε−)1 = 0 (−1 < ε< )1
¡
5 − 37 5 + 37  
得ε= ∈(−)1,1 ε= ∉(−)1,1
1 6 2 6
−
于是ε= 5 37
6
π 5π
(2) f (x) = ln(sin x) , [ , ]
6 6
解:∵ f (x) = ln(sin x) 是初等函数,在其有定义的区间,0( π) 内连续,
¢ π 5π
∴ f (x) [ , ]上连续。
6 6
£ π 5π
又∵ f (x) = cot x ( , ) 内有定义
6 6
π 5ππ 5π 1
¦ § ¨ ©
∴ f (x) ( , ) ¤ ¥ f ( ) = f ( ) = ln
6 6 6 6 2
£
π 5π
因此 f (x) [ , ]
6 6
π 5π
故有 f (ε) = cot ε= 0 ( < ε< )
6 6
ππ 5π
得ε= ∈( , )
2 6 6
2 − x 2
(3) f (x) = , [-1,1]
x 4
解:∵ f (x)在x = 0点处不连续
∴ f (x)在[−]1,1 上不满足罗尔定理所有条件。
1
x cos x ≠ 0 ππ
(4) f (x) = x [−, ]
x = 0 2 2
0
解:∵ f (x)在x = 0处不可导
#
! "
ππ
∴ f (x) [−, ] .
2 2
2. 证明 x 3 − 3x +1 = 0在]1,0[ 上存在一个实根。
证明:令 f (x) = x 3 − 3x + ,1 则f (x)在]1,0[ 上连续,
且f )0( = 1 > ,0 f )1( = −1 < 0
由零值定理知至少存在点∈内使= 。
x1 )1,0( f (x1 ) 0
既方程 x3 − 3x +1 = 0在(0,1)内至少有一实根。
若方程 3 −+ = 在上还存在实根,既=
x 3x 1 0 ]1,0[ x2 f (x2 ) 0
在或上连续,在或内可导
f (x) [x1, x2 ]( [x2 , x1] [x1, x2 ]( [x2 , x1 )]
知满足罗尔定理条件,故至少存在点ε∈或,
f (x) [x1 , x2 ]( [x2 , x1 )]
使得f ′(ε) = 0,但 f ′(ε) = 3ε 2 − 3 = (3 ε 2 −1)〈0 矛盾
因此方程 x3 − 3x +1 = 0在 0[ ,]1 上只存在一个实根。
3 .已知函数 f (x) = (x −)(1 x −)(2 x −)(3 x −)4 ,不求 f (x) 的导数,试讨论
方程 f ′(x) = 0的实根并指出它们所在的区间。
解∵ f (x)在(−∞,∞)内连续可导,且f )1( = f )2( = f )3( = f )4( = 0
∴ f (x)在]4,3[],3,2[],2,1[ 上都满足罗尔定理条件。由罗尔定理知至少存在
ε∈(,),ε∈( ,),ε∈( ,)使′ε= ′ε= ′ε= 即方程
1 1 2 2 2 3 3 3 4 f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) 0
f ′(x) = 0至少有三个实根。又方程 f ′(x) =0 为三次方程,故它至多有三个
实根。因此方程 f ′(x) =0 有且仅有三个实根,它们分别在区间
(1,2)(, 2,3)(, 3,4)内。
?若满
足,请求出使定理结论成立的分值。
(1) f (x) = 2x3 [-1,1]
解:∵ f (x)是定