文档介绍：第四章多元函数微分学
§ 偏导数
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设 D 是 R 中的区域, z = f (x, y) 是 D 上的函数. 设 P0 = (x0, y0 )Î D , 我们希望定
义 f (x, y) 在 P0 点的导数, 即因变量相对于自变量的变化率. 但如果将 P = (x, y) 作为变量,
由于其是二维向量, 没有除法, 因此很难定义 f (x, y) ­ f (x0 , y0 ) 相对于
P ­ P0 = (x ­ x0, y ­ y0 ) 的变化率. 我们只能将 P = (x, y) 的分量 x 和 y 分别作为自变量
来定义导数.
f (x, y0 ) ­ f (x0, y0 )
将 y 固定在 y0 , 则 f (x, y0 ) 是 x 的函数. 如果 lim 存在, 则称
x®x
0 x ­ x0
f (x, y) 在(x0 , y0 ) 处沿 x 方向可导, 称极限为 f (x, y) 在(x0 , y0 ) 处关于 x 的偏导数, 记之
¶f
为(x , y ) 或 f (x , y ) .
¶x 0 0 x 0 0
¶f
同样我们定义 f (x, y) 在(x , y ) 处沿 y 方向的偏导数(x , y ) 为
0 0 ¶y 0 0
f (x , y) ­ f (x , y )
lim 0 0 0 .
y® y
0 y ­ y0
¶f (x, y)
例: 设 f (x, y) = xsin y 2 + y3 , 则= sin y 2 , 而
¶x
¶f (x, y)
= x ×cos y 2 × 2y + 3y 2 = 2xycos y 2 + 3y 2 .
¶y
上例说明偏导数的计算仅是一元函数求导的简单推广. 因此一元函数求导的公式和性
质对偏导数都成立.
¶f ¶f
由偏导数的定义不难看出, f (x, y) 在(x , y ) 处存在偏导数(x , y ) , (x , y )
0 0 ¶x 0 0 ¶y 0 0
仅与 f (x, y) 沿 x 轴方向和 y 轴方向变化有关, 与 f (x, y) 在其余部分的取值无关. 因而与
一元函数不同, 偏导在一个点的存在不能得出函数在这点连续.
例: 设
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ì xy
ï , (x, y) ¹ (0,0);
f (x, y) = íx 2 + y 2
îï 0, (x, y) = (0,0).
f (x,0) ­ f (0,0) f (0, y) ­ f (0,0) ¶f (0,0) ¶f (0,0)
则= 0, = 0. 因此= = 0 . 但
x ­ 0 y ­ 0 ¶x ¶y
lim f (x, y) 并不存在, f (x, y) 在(0,0) 处不连续.
x®0
y®0
¶f ¶f
引理 1: 设 f (x, y) 在区域 D 上处处有偏导, 且º 0, º 0 , 则 f (x, y) 在 D 上为
¶x ¶y
常数.
这一引理说明与一元函数一样, 处处有偏导的函数在差一常数的意义下由其偏导数唯
一确定. 这一引理的证明留给读者作为思考题. 通过这一引理不难理解, 多元函数的性质是
可以通过其偏导数来反映的. 所以虽然函数在一个点的偏导数仅说明了函数在 x 轴或 y 轴
方向的变化情况, 但在一个区域上, 函数的性质是可以通过偏导数的研究得到的.
§ 全微分
定义: 设 f (x, y) 定义在(x0 , y0 ) 邻域上, 称 f (x, y) 在(x0 , y0 ) 可微, 如果存在线性函
数 A(x ­ x0 ) + B(y ­ y0 ) , 使在(x0 , y0 ) 邻域上
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f (x, y) ­ f (x0 , y0 ) = A(x ­ x0 ) + B( y ­ y0 ) + o( (x ­ x0 ) + (y ­ y0 ) ).
由于上式仅在 Dx = x ­ x0 和 Dy = y ­ y0 充分小时才有意义, 我们令dx = Dx, dy = Dy , 称
df = Adx + Bdy 为 f (x, y) 在(x0 , y0 ) 处的微分. 上式表明
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f (x0 + Dx, y0 + Dy) ­ f (x0, y0 ) = Df = df + o( Dx + Dy )» df .
令 Dx ® 0, Dy ® 0 , 则有 lim f (x, y) = f (x0 , y0 ) . 因此如果 f (x, y) 在(x0 , y0 )