课件15 一致收敛级数的判别与性质.pdf

文档介绍：§2 一致收敛级数的判别与性质
一致收敛的判别

定理 (函数项级数一致收敛的 Cauchy 收敛原理) 函数
∞
项级数在上一致收敛的充分必要条件是:对于任意给定的
∑ n xu )( D
n=1
ε> 0,存在正整数 N = N( ε),使
│ n+1 xu )( + n+2 xu )( +"+ um (x)│< ε
对一切正整数 m> n > N 与一切 x∈D 成立。
∞
证必要性。设在上一致收敛,记和函数为,则
∑ n xu )( D S(x)
n=1
对任意给定的ε> 0 ,存在正整数 N = N()ε, 使得对一切 n > N 与一切
x∈D,成立
n
ε。
∑ k − xSxu )()( <
k =1 2
于是对一切 m > n > N 与一切 x∈D,成立
m n
││
n+1 xu )( + n+2 xu )( +"+ um (x) = ∑ k xu )( −∑ k xu )(
k =1 k =1
m n
。
≤∑ k xSxu )()( +−∑ k − xSxu )()( < ε
k =1 k =1
充分性。设任意给定的ε>0,存在正整数 N = N(ε),使得对一切
m > n > N 与一切 x∈D,成立
m n
││ε
n+1 xu )( + n+2 xu )( +"+ um (x) = ∑ k xu )( −∑ k xu )( <
k =1 k =1 2
∞
固定,则数项级数满足收敛原理,因而收敛。设
x ∈D ∑ n xu )( Cauchy
n=1
∞
, ,
S(x) =∑ n xu )( x∈D
n=1
m n
在ε中固定, 令,则得到
∑ k xu )( −∑ k xu )( < n m ∞→
k =1 k =1 2
n ε
∑ k − xSxu )()( ≤< ε
k =1 2
∞
对一切成立,因而在上一致收敛于。
x∈D ∑ n xu )( D S(x)
n=1
函数序列一致收敛的 Cauchy 收敛原理:
函数序列{Sn(x)}在 D 上一致收敛的充分必要条件是:
∀ε> 0,∃ N,∀m > n > N,∀x∈D :
│Sm(x) - Sn(x)│< ε。
函数序列一致收敛的 Cauchy 收敛原理:
函数序列{Sn(x)}在 D 上一致收敛的充分必要条件是:
∀ε> 0,∃ N,∀m > n > N,∀x∈D :
│Sm(x) - Sn(x)│< ε。
∞
定理 判别法设函数项级数( )
(Weierstrass ) ∑ n xu )( x∈D
n=1
的每一项 u n (x)满足
│un (x)│≤ an, x∈D ,
∞∞
并且数项级数收敛,则在上一致收敛。
∑ an ∑ n xu )( D
n=1 n=1
证由于对一切 x∈D 和正整数 m> n,有
│ n+1 xu )( + n+2 xu )( +"+ um (x)│
≤│ n+1 xu )( │+ │ n+2 xu )( │+"+ │um (x)│
≤ an+1 + an+2 +"+ am ,
∞
由定理和数项级数的收敛原理,即得到在
Cauchy ∑ n xu )( D
n=1
上一致收敛。
∞∞
注此时不仅在上一致收敛,并且也在上
∑ n xu )( D ∑ n xu |)(| D
n=1 n=1
一致收敛。
∞∞∞
例 若绝对收敛,则与在
∑ an ∑ n cos nxa ∑ n sin nxa
n=1 n=1 n=1
∞ cos nx ∞− n sin)1( nx
+∞−∞),( 上一致收敛。如: ( > ), 等函数项级
∑ p p 1 ∑ 2
n=1 n n=1 n +1
数都在+∞−∞),( 上一致收敛。
∞
函数项级数∑α ex −nx α> )1( 在+∞),0[ 上一致收敛。
n=1
证记
α−nx
n )( = exxu ,
α
α⎛α⎞ 1
则′= α 1 −− nx α− nxexxu )()( 。可知 xu )( 在 x = 处达到最大值⎜⎟,即
n n n e nα
α⎝⎠
⎛α⎞ 1
xu )(0 ≤≤⎜⎟, x +∞∈),0[ 。
n e nα
⎝α⎠
∞⎛α⎞ 1
由于α> 1 ,正项级数收敛,