文档介绍：第七章定积分
( The definite integration )
第十九讲定积分在几何方面的应用
课后作业:
阅读:第七章 : , : pp198---210;
预习:: pp. 211---215; : 215---219
作业: ---202: 习题 : 1, (1), (8); 2; 4; 6; 7; 8(2); 10.
---211: 习题 : 2; 4; 5; 9; 10; 13.
习题 2(2); 4; 6; 9
7-1 定积分在几何方面的应用
7-1-1 定积分应用的两种思想
定积分问题的持征:
定积分量是区间的函数:,具有对区间的可加性:
即,若和内部之交为空集, 则有
。
解决定积分问题的两种思路:
元素相加法: 利用定积分定义一个量。
分小取近似: ;
求和取极限:

微元分析法: 通过分析末知函数的增量求出其微分的方法。
分小取微分: ;
积分求增量: .

7-1-2 定积分在几何方面的应用---求平面图形的面积:
1)平面图形的面积是什么?
看作己知面积的图形对该图形“度量”的结果。可称之为“测度”。
设欲度量的图形为,通常做法是用两种多边形和, 其面积分别为, 使得: : 取
最小上界;最大下界。
如果有, 显然可认为图形的面积是.
y
y=f(x)
ΔS
y=g(x)

a x x+Δx b
0 x
2)各种坐标系下的计算公式?
在直角坐标系下:
;
,
其中,
在参数方程表示下:

dρ
rdj Δl
dj ρ

, =
在极坐标系下:
;
y
M
0 N x
a x
P
S 1

3) 例
例1 : 双曲线,,
求双曲线弧MNPM
所围图形的面积。

因

所求面积
进一步: ,
由;
解出:.
特别是当时,
该结果不对!是¥
=.
.
此时,, 这就是叫做双曲函数的原因。
而园, 所以三角函数又叫圆函数。
y

0 x 1

y
M
N
0 a x x
P
S
So
t
例2:

,
, 椭圆渐屈线所围面积。时椭圆渐屈线的图像
解:
=
例3, 求叶形线在第一象限中的面积。
化成极坐标。,
.

时叶形线的图像
设, 利用广义积分可得:
.
定积分在几何方面的应用---求曲线的弧长:
1, 曲线的长度是什么?
非封闭曲线的弧长可作为其内折线长,
在子弧最大直径趋于零时的极限。
2, 各种坐标系下的计算公式?
y

y=f(x)
dl
0 x x+dx x
在直角坐标系下:
;

在参数方程表示下:
,

dρ
rdj Δl
dj ρ

在极坐标系下:
;
,
3)例: