文档介绍：第七章定积分的应用
第一节定积分的几何应用
思考题:
1. 什么叫微元法?用微元法解决实际问题的思路及步骤如何?
答:微元法就是运用“无限细分”和“无限累积”两个步骤解决实际问题的一种方法,具体说来,即是对在区间上分布不均匀的量,先将其无限细分,得其微元然后将微元在上无限求和(累积),即得所求量,求微元时,一般是对的子区间对应的部分量,采用以“常代变”,“均匀代替不均匀”,“直代曲”的思路.
2. 求平面图形的面积一般分为几步?
答:一般分为(1)画图,(2)选定积分变量并给出积分区间,(3)确定被积函数并写出积分表达式,(4)计算定积分求得面积四个步骤.<br面图形的面积.

2

解:如图,由得两曲线交点(1,1).
取为积分变量,,
所求面积
.

2. 用定积分求底圆半径为,高为的圆锥体的体积.
解:建立如右图坐标系,则圆锥体可看成是由直线
及轴所围成三角形绕轴旋转一
周而成,故圆锥体体积
.
3. 用定积分求由所围平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.
1
1
解:如右图,所求体积

==.
第二节定积分的物理应用与经济应用举例
思考题:
1. 设一物体受连续的变力作用, 沿力的方向作直线运动,则物体从运动到, 变力所做的功为= , 其中为变力使物体由内的任一闭区间的左端点 到右端点所做功的近似值,也称其为.
答: 功的微元.
2. 如何计算铅直放置在液体中的曲边梯形薄板的侧压力?
答:以液体深度作为积分变量,利用同一深度处压强相等这一物理学知识,考虑深度层所对应的一层薄板所受压力的近似值,即得压力微元,将在曲边梯形薄板所处深度区间上积分,即得薄板所受侧压力.
3. 如何求一个密度不均匀分布的直杆的质量,试举例说明.

答:如右图,设直杆位于轴上的区间[0, ],
对应的密度为(不为常数