文档介绍：第十章定积分的应用
§1 平面图形的面积与立体的体积
例1 求由曲线与所围平面图形的面积(图10-10中的A),并求此图形绕轴旋转的旋转体体积。]
分析求双曲线与抛物线的交点:
即
由此知道二曲线在处相切,在处相交。
解根据以上分析所得结果,按平面图形的面积公式与旋转体的体积公式,可分别求得:
例2 如图10-11所示,由点向椭圆作两条切线MP和MQ(P,Q为切点)。试求椭圆与切线所围阴影区域的面积A,并求该区域绕y轴旋转所得旋转体的体积V。
解本题的关键是求切线MP和MQ的方程,通常有两种解法。
[解法一] 求切线的斜率。设MP的方程为,当它与椭圆相切时,方程组
对x只有唯一解。为此消去y,得到关于x的二次方程:
使其判别式为零,即
由此解出这就是MP和MQ的斜率。
[解法二] 求切点坐标。为此对椭圆方程两边分别对求导数(把看作的复合函数),得
并由此解出,这是椭圆上任一点(x,y)处的切线斜率。于是,过点(x,y)的切线方程为
使它通过定点,即以代入,得到
并有
这就求得切点
由于MP的方程为,借助对称性,可分别计算A和V如下:
说明根据图形特征,上面在计算A与V时选择以y作为积分变量,这是很合理的。
例3 如图10-12所示,为阿基米德螺线,图中分别表示螺线每相邻两卷之间的面积。证明成等差数列。
证根据极坐标形式下的面积计算公式,先求出:
注意到
故得
由此可见成等差数列,公差为
注意不要把误认为因为表示矢径从至所扫过的面积,它不仅扫过了,同时还扫过了
例4 试求由参数方程
表示的曲线所围成图形的面积。
分析由
看出说明参数由递增至时,曲线上的动点从坐标原点出发又回到坐标原点(该曲线的图像示于图10-13)。
解根据以上分析和前面在图10-6中给出的计算公式,便可求得该曲线所围成平面图形的面积:
说明与前面问题3中所指出的结论相对照,这里的
为一负值,表示t在[0,2]这一变化过程中,曲线上的动点(x(t),y(t))是按逆时针方向运动的。
例5 求由双曲抛物面、平面与所围立体的体积。
分析该立体如图10-14(a)所示。由于它不是一个旋转体,因此只能通过先求出截面面积函数,而后再求定积分的方法来计算立体体积。从我们对双曲抛物面的认识可以知道,垂直于z轴的截面形状是一族双曲线弓形(示于图10-14(b)),垂直于x轴的截面形状是一族抛物弓形(示于图10-14(c))。若能求得截面面积函九A(z)或A(x),便有
解下面人出两种解法,以便于进行比较。
[解法一] 在计算A(z)时,应把z看作在[0,1]上的任一固定实数。此时,水平截线是一族双曲线(每个z的值对应一条双曲线),或写作
于是所求双曲线弓形的面积为
由此便有
现分别计算右边三个积分如下:
所以
[解法二] 类似地,在计算A(x)时应把x看作在[0,1]上取定的任一实数。此时,垂直于x轴的截线是一族抛物线(每个x的值对应一条抛物线)。因此所求抛物线弓形的面积为
由此便有
说明比较解法一与解法二,显然后者要简单得多。由此可见,在利用截面面积求体积的问题中,选择合适的截面是十分重要的。请读者再考察一下,本题若取垂直于y轴的截面,则截面的形状是怎样的?计算A(y)以及计算V的过程是否简便?
§2 平面曲线的弧长与旋转曲面的面积
例1 如图101-19所示,悬链线在上的一段弧长和曲边梯形面积分别记为s(u)和A(u);该曲边梯形绕x轴旋转所得旋转体的体积和侧面积分别记为V(u)和S(u);该旋转体在x=u处的端面积记为F(u)。试证:
(1)
(2)
证(1)由于
因此有
(2)又因
所以
例2 图10-20所示为曳物线的生成原理——在平面上有一细杆PQ,长为a。起始位置P在点(0,a),Q在坐标原点。然后一端Q沿x轴正向移动,另一端P被自由(即不受阻力)地牵曳着而生成一条曲线,称为曳物线。
(1)验证曳物线的方程为
(2)计算曳物线上两点与间的弧长;
(3)试求当端点Q运动到(x,0)时,端点P沿曳物线走过的路程s(x),并求
分析当细杆自由地被牵曳着运动时,在任一位置PQ恒为曳物线的切线。设所在的切线为
当Y=0时,,故点Q的坐标为由,得到曳物线所满足的方程为
解(1)根据以上分析,由(曳物线为递减函数),解出
这就得到
以x=0时y=a的初值条件代入,得C=0。于是解得曳物线方程为
(2)根据弧长公式,曳物线上点与之间弧段长度为
由于
因此易得
(3)设端点Q到达(x,0)时,端点P在位置。写出在该点的切线:
用Y=0,X=x代入,得到
由于动点P由点(0,