文档介绍：章节题目
第四节对面积的曲面积分
内容提要
对面积的曲面积分的概念、性质
对面积的曲面积分的计算法
重点分析
对面积的曲面积分的计算
难点分析
曲面类型及投影区域的确定
习题布置
4、5、6(单)
备注
教学内容
一、概念的引入
实例若曲面是光滑的, 它的面密度为连续函数, 求它的质量.
所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.
二、对面积的曲面积分的定义
, 函数在上有界, 把分成小块(同时也表示第小块曲面的面积),设点为上任意取定的点,作乘积, 并作和, 如果当各小块曲面的直径的最大值时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分.
记为.
即

.
三、计算法
按照曲面的不同情况分为以下三种:
则
则
则
例1 计算,其中为平面被柱面所截得的部分.
解积分曲面: ,投影域:

例2 计算,其中为抛物面().
解依对称性知:
被积函数关于、坐标面对称
有成立,(为第一卦限部分曲面)
原式
其中,
利用极坐标, ,
令

例3 计算, 其中是圆柱面, 平面及所围成的空间立体的表面.
解
其中:,:,
:.投影域:
显然,
讨论时, 将投影域选在上.
(注意:分为左、右两片)
(左右两片投影相同)

.
例4 计算, 其中为内接于球面的八面体表面.
解被积函数,关于坐标面、原点均对称, 积分曲面也具有对称性, 故原积分, (其中表示第一卦限部分曲面)
:, 即
四、小结
1、对面积的曲面积分的概念;
2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算.
(按照曲面的不同情况分为三种)
思考题
在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中,有因子, 试说明这个因子的几何意义.
思考题解答
是曲面元的面积, 故是曲面法线与轴夹角的余弦的倒数.