文档介绍：章节题目
第五节对坐标的曲面积分
内容提要
对坐标的曲面积分的概念及性质
对坐标的曲面积分的计算法
两类曲面积分之间的联系
重点分析
对坐标的曲面积分的计算
难点分析
曲面的侧的确定
习题布置
3(单)、4
备注
教学内容
一、基本概念
观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
曲面的分类: ; .
典型双侧曲面
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
曲面法向量的指向决定曲面的侧.
决定了侧的曲面称为有向曲面.
曲面的投影问题:在有向曲面Σ上取一小块曲面
二、概念的引入
实例: 流向曲面一侧的流量.
(1) 流速场为常向量,有向平面区域A,求单位时间流过A的流体的质量(假定密度1).
(2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场由
给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数
都在Σ上连续, 求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量.
1. 分割
把曲面Σ分成小块(同时也代表第小块曲面的面积),在上任取一点,则该点流速为,法向量为
该点处曲面Σ的单位法向量,
通过流向指定侧的流量的近似值为
2. 求和
通过Σ流向指定侧的流量

三、概念及性质
定义设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有界,把Σ分成块小曲面(同时又表示第块小曲面的面积),在面上的投影为,是上任意取定的一点,如果当各小块曲面的直径的最大值时, 存在, 则称此极限为函数在有向曲面Σ上对坐标的曲面积分(也称第二类曲面积分)记作,即
类似可定义
存在条件:
当在有向光滑曲面Σ上连续时,对坐标的曲面积分存在.
组合形式:
物理意义:
性质:
四、计算法
设积分曲面Σ是由方程所给出的曲面上侧,Σ在面上的投影区域为,函数在上具有一阶连续偏导数,被积函数在Σ上连续.
注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.
例1 计算其中Σ是