文档介绍：§3 初等函数连续性
从前面两节知道基本初等函数中:常函数,三角函数,反三角函数,以及有理指数幂函数,都是定义
、对数函数与实指数幂函数在其定义域内的连续性,以及初等函数在
其定义域内的连续性。
一指数函数的连续性
在第一章中,我们已定义了实指数的乘幂,并证明了指数函数在上是严格单调
,然后证明指数函数的连续性。
设 为任意实数,则有
.
证明不妨设,则由第一章§3(6)式所定义,即
.
任给,设为两个有理数,且,使得
.
由 的严格增递性,得  .
又有,故得
.
由任意性推出  .
为证相反的不等式, 设为有理数,且,使得.
再取有理数 使, 则有
故得到   .
由任意性推出,所以有.
(后一等式的证明留给读者.)
指数函数在R上是连续的.
§2例4知

                           .
令则当时有,从而有
.
这证明了在任一点处连续.
当时,令,则有,而可看作函数与的复合,所以此时亦在
上连续。利用指数函数的连续性,以及第三章§5例4中已证明的
可知的值域为()( 时也是如此).于是的反函数—对数函数 在其定义域
() 内也连续.
例1 .
证明补充定义, 则 连续,从而知在连续,
所以 .
二初等函数的连续性
由于幂函数(为实数)可表为,它是函数与的复合,故有指数函数与对数函
数的连续性以及复合函数的连续性,推得幂函数在其定义域()上连续。
前面已经指出,常函数,三角函数,:
定理一切基本初等函数都是定义域上的连续性函数.
由于任何初等函数都是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到,所以有:
任何初等函数都是定义域上的连续性函数.
例 1  求 
解    利用对数函数的连续性,
 
例 2  求 
解由于是初等函数定义域内的点,利用