文档介绍：章节题目
第二节、定积分的性质、中值定理
内容提要
定积分的性质
典型问题:估计积分值,不计算定积分比较积分大小
重点分析
估值性质
积分中值定理的几何意义及应用
难点分析
利用估值性质估计积分的值
习题布置
:2(2)(3)、3(1)、4(1)(3)(5)
备注
教学内容
一、基本内容
对定积分的补充规定:
(1)当时,;
(2)当时,.
说明: 在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小.
性质1.
证明::
(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)
性质2 (为常数).
证明:
性质3 假设,.
补充:不论的相对位置如何, 上式总成立.
例若
则
(定积分对于积分区间具有可加性)
性质4.
性质5如果在区间上,则.
证:

例1 比较积分值和的大小.
解:令

于是
性质5的推论:
(1)如果在区间上,则.
证明:
于是.
性质5的推论:
(2).
证明:
即.
说明:||在区间上的可积性是显然的.
性质6设及分别是函数在区间上的最大值及最小值,则.
证明:
(此性质可用于估计积分值的大致范围)
例2 估计积分的值.
解:

例3 估计积分的值.
解: ,
在上单调下降, 故为极大点,为极小点,

性质7(定积分中值定理)
如果函数在闭区间上连续,则在积分区间上至少存在一个点,使. (积分中值公式)
证明:
由闭区间上连续函数的介值定理知:在区间上至少存在一个点,
使得即.
积分中值公式的几何解释:
在区间上至少存在一个点,使得以区间为底边,以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为的一个矩形的面积。
例4 设可导,且,求.
解:由积分中值定理知有使得

二、小结
(注意估值性质、积分中值定理的应用)
(1)估计积分值;(2)不计算定积分比较积分大小.
思考题
定积分性质中指出,若在上都可积,则或在上也可积。这一性质之逆成立吗?为什么?
思考题解答
由或在上可积,不能断言在上都可积。
例
显然和在上可积,但在上都不可积。