文档介绍：章节题目
第四节、平面弧长的积分
内容提要
平面曲线弧长的概念
弧微分的概念
弧长的计算
重点分析
直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下弧长的计算公式
难点分析
直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下弧长元素的确定
习题布置
:1、4、6、8、9
备注
教学内容
一、平面曲线弧长的概念
设、是曲线弧上的两个端点,在弧上插入分点并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时,此折线的长的极限存在,则称此极限为曲线弧的弧长.
并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时,此折线的长的极限存在,则称此极限为曲线弧的弧长.
二、直角坐标情形
设曲线弧为,其中在上有一阶连续导数,取积分变量为,在上任取小区间,以对应小切线段的长代替小弧段的长
小切线段的长
弧长元素
弧长
例1 计算曲线上相应于从到的一段弧的长度.

所求弧长为
例2 计算曲线的弧长.
解:

三、参数方程情形
曲线弧为,其中在上具有连续导数.

弧长
例3 求星形线的全长.
解:星形线的参数方程为
根据对称性(第一象限部分的弧长4倍)

例4 证明正弦线的弧长等于椭圆的周长.
解:设正弦线的弧长等于

设椭圆的周长为
四、极坐标情形
曲线弧为,其中在上具有连续导数.

弧长
例5 求极坐标系下曲线的长.
解:

例6 求阿基米德螺线上相应于从到的弧长.
解:

五、小结
平面曲线弧长的概念
弧微分的概念
求弧长的公式:直角坐标系下;参数方程情形下;极坐标系下
思考题
闭区间上的连续曲线是否一定可求长?
思考题解答
,必须保证曲线光滑才可求长.