7-4数量积 向量积 混合积.doc

文档介绍：章节题目
第四节数量积向量积混合积
内容提要
向量的数量积
向量的向量积
向量的混合积
重点分析
数量积的定义及运算法则
向量积的定义及运算法则
难点分析
向量的数量积、向量积的运算
习题布置
:1(1)、3、6、7、8、10
备注
教学内容
一、两向量的数量积
实例一物体在常力作用下沿直线从点移动到点,以表示位移,则力所作的功为(其中为与的夹角)
启示两向量作这样的运算, 结果是一个数量.
定义向量与的数量积为
(其中为与的夹角)

“点积”、“内积”.
关于数量积的说明:
证
证

数量积符合下列运算规律:
(1)交换律:
(2)分配律:
(3)若为数:
若、为数:
设
数量积的坐标表达式
(两向量夹角余弦的坐标表示式)
由此可知两向量垂直的充要条件为
例1 已知,,求(1);(2)与的夹角;(3)在上的投影.
解


例2 证明向量与向量垂直.
证

二、两向量的向量积
实例设为一根杠杆的支点,,力对支点的力矩是一向量.
它的模
的方向垂直于与所决定的平面, 指向符合右手系.
定义向量与的向量积为
(其中为与的夹角)
的方向既垂直于,又垂直于,“叉积”、“外积”.
关于向量积的说明:
证

向量积符合下列运算规律:
(1)
(2)分配律:
(3)若为数:
设



(向量积的坐标表达式)
向量积还可用三阶行列式表示
由上式可推出
、、不能同时为零,但允许两个为零,
例如,
补充
表示以和为邻边的平行四边形的面积.
例3 求与,都垂直的单位向量.
解
例4 在顶点为、和的三角形中,求边上的高.
解
三角形ABC的面积为
S=


例5 设向量两两垂直,符合右手规则,且,,,计算