文档介绍：章节题目
第二节偏导数
内容提要
偏导数的定义、计算、几何意义
高阶偏导数
重点分析
偏导数的计算
难点分析
多元函数偏导数与一元函数导数之间的联系与区别
习题布置
1(单)、4、5、6(单)、8、9(2)
备注
教学内容
一、偏导数的定义及其计算法
定义设函数在点的某一邻域内有定义,当固定在而在处有增量时,相应地函数有增量
,
如果存在,则称此极限为函数在点处对的偏导数,记为
,,或.
同理可定义函数在点处对的偏导数, 为
记为,,或.
如果函数在区域内任一点处对的偏导数都存在,那么这个偏导数就是、的函数,它就称为函数对自变量的偏导数,
记作,,或.
同理可以定义函数对自变量的偏导数,记作,,或.
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如在处
例1 求在点处的偏导数.
解

例2 设,求证.
证

原结论成立.
例3 设,求,.
解

不存在.
例4 已知理想气体的状态方程(为常数),求证:
.
证

有关偏导数的几点说明:
1、偏导数是一个整体记号,不能拆分;
2、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求;
解
3、偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导连续,多元函数中在某点偏导数存在是否可得连续,
例如,函数,依定义知在处,.但函数在该点处并不连续. 偏导数存在不能得到连续.
4、偏导数的几何意义
如图
几何意义:
偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率.
偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率.
二、高阶偏导数
函数的二阶偏导数为
纯偏导
混合偏导
定义:二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例5