文档介绍：章节题目
第五节隐函数的求导公式
内容提要
隐函数求导:一个方程的情形
方程组的情形
重点分析
隐函数求导的方法
难点分析
方程组情形隐函数求导
隐函数的高阶导数求法
习题布置
1、3、6、7、10(单)
备注
教学内容
一、一个方程的情形
隐函数存在定理1 设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数,且,,则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数,它满足条件,并有.
例1 验证方程在点的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且时的隐函数,并求这函数的一阶和二阶导数在的值.
解令,则

依定理知方程在点的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且时的函数.
函数的一阶和二阶导数为

例2 已知,求.
解令
则

隐函数存在定理2 设函数在点的某一邻域内有连续的偏导数
,且,,则方程在点
的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数,它满足条
件,并有, .
例3 设,求.
解令
则

例4 设,求,,.
思路:把看成的函数对求偏导数得,
把看成的函数对求偏导数得,
把看成的函数对求偏导数得.
解令则
把看成的函数对求偏导数得

整理得
把看成的函数对求偏导数得

整理得
把看成的函数对求偏导数得

整理得
二、方程组的情形
隐函数存在定理3 设、在点的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数,且,
,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比式)

在点不等于零,则方程组
、
在点的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数,,它们满足条件,
,并有
设,, 求,,和.
解1 直接代入公式;
解2运用公式推导的方法
将所给方程的两边对求导并移项

在的条件下,

将所给方程的两边对求导,用同样方法得

三、小结
隐函数的求导法则(分以下几种情况)
思考题
已知,其中为可微函数,求
思考题解答
记,则,

于是.