文档介绍：章节题目
第七节方向导数与梯度
内容提要
方向导数的概念及计算
梯度的概念与几何意义
重点分析
方向导数的计算
梯度概念的理解
难点分析
梯度概念的理解
梯度的几何意义
习题布置
2、4、7、10
备注
教学内容
一、问题的提出
实例:一块长方形的金属板,四个顶点的坐标是(1,1),(5,1),(1,3),(5,3).在坐标原点处有一个火焰,(3,2)处有一个蚂蚁,问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点?
问题的实质:应沿由热变冷变化最骤烈的方向(即梯度方向)爬行.
二、方向导数的定义
讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题.
设函数Z=f (x ,y)在点P (x ,y)的某一领域U (P)内有定义,自点P引射线L,
设x轴正向到L射线的转角为,并设(x+)为L上的另一点
且
当沿着趋于时,是否存在?
记为
依定义,函数在点沿着轴正向、轴正向的方向导数分别为;
定理如果函数在点是可微分的,那末函数在该点沿任意方向
L的方向导数都存在,且有,其中为轴到方向L的转角.
证明由于函数可微,则增量可表示为
两边同除以得到
设为cos,为sin
故有方向导数
例1求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数.
解这里方向即为, 故轴到方向的转角.

所求方向导数
例2 求函数在点(1,1)
(1)最大值; (2)最小值; (3)等于零?
解由方向导数的计算公式知

故(1)当时,方向导数达到最大值;
(2)当时,方向导数达到最小值;
(3)当和时,方向导数等于0.
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数,它在空间一点沿着方向L的方向导数,可定义为
( 其中)
设方向L的方向角为

同理:当函数在此点可微时,那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在,且有
例3 设是曲面在点处的指向外侧的法向量,求函数在此处沿方向的方向导数.
解令

故
方向余弦为

故
三、梯度的概念
定义设函数在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每一点,都可定出一个向量,这向量称为函数在点的梯度,记为.
设是方向上的单位向量,
由方向导数公式知

其中
当时,有最大值.
结论:函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,
.
当不为零时,轴到梯度的转角的正切为.
在几何上表示一个曲面
曲面被平面所截得
所得曲线在xoy面上投影如图
等高线
梯度为等高线上的法向量
等高线的画法
例如,
梯度与等高线的关系:
函数Z=f