文档介绍：§ Taylor定理及其应用
Taylor(1685—1731)
一、Taylor定理
若f (x)在x0可导(可微), 则有
故
上式表明, 当x在x0附近时, f (x)可用x的一次多项式来近似, 误差是o(x–x0).
问题: 若f (x)在x0处n阶可导, 当x在x0附近时, f (x)可否用x的n次多项式来近似? 使误差是o(x–x0)n. 此即下面的
Taylor定理设 f : U(x0, )R在x0处有n阶导数, 则
说明①上式称为f (x)在x0点的带Peano型余项的n阶Taylor公式, o(x–x0)n称为Taylor公式的Peano型余项.
②称为f (x)在x0点的n阶Taylor多项式, 称为f (x)在x0点的Taylor系数.
其中最后一步由n阶导数定义得到(不能再用L’Hospital法则, 因为在x0附近 f (n)(x)不一定存在).
用Tn(x)近似 f (x), 误差为o(x–x0)n, 这是一个定性的误差估计式, 要得到定量的误差估计式, 需要下面的
Taylor定理设x0(a, b), f (x)在(a, b)内有n+1阶导数, 则 x(a, b), 介于x与x0之间, 使得
③上式称为带Lagrange型余项的n阶Taylor公式, Rn(x)称为Taylor公式的Lagrange型余项.
④当n = 0时, 得Lagrange公式: f (x) = f (x0) + f '()(x–x0), 故Lagrange公式也称为0阶Taylor公式.
证明方法: 构造辅助函数应用Rolle定理(过程略).
⑦当x0 = 0时的Taylor公式又称为Maclaurin公式: 即
⑥若x(a, b)有,|f (n+1)(x)| M, 则余项有估计式
⑤令x x0= x, 则= x0 + x (0<<1), 上述公式变为
二、常用Maclaurin公式
1. f (x) = ex. 因为f (k)(x) = ex, 所以
2. f (x) = sinx. 由 f (k)(x) = sin(x+(k)/2), 得f (2n)(0) = sinn= 0, f (2n–1)(0) = sin(n–/2) = – cos(n) = (– 1)n –1, f (2n+1)(x) = (– 1)n cos x.
类似地
3. f (x) = ln(1+x).
4. f (x) = (1+x).
若= n, 则k > n时, f (k)(x) = 0, 上式变为二项式定理.
5. 几个补充的Maclaurin公式:
此外, 还有
三、应用
1. 求极限和无穷小的阶数.
例1 求极限