文档介绍：2005 水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦 1006 清华大学理科楼 1101 电话:62781785
基础部分
第一课微积分
第 7 章定积分的应用综合例题
7. 1 定积分应用的两种思想
定积分问题的持征:
解决定积分应用问题的两种思路:
元素相加法: 利用定积分定义一个量。
分小取近似: ∆I ≈ f (ξi )∆xi ;
求和取极限:
n b
I = lim ∑ f (ξi )∆xi = ∫ f (x)dx
λ→0 i=1 a
微元分析法: 通过分析末知函数的增量求出其微分的方法。
分小取微分: ∆I ≈ dI = f ()x dx ;
b
积分求增量: I = ∫ f (x)dx = F(b) − F(a) .
a
7. 2 定积分在几何方面的应用
平面区域的面积
设 f (x), g(x) 在区间[a,b]上可积, 则区域
D = {}(x, y) a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g(x)
b
的面积为 A = ∫a []g(x) − f (x) dx 。
b
注:若连续函数 f (x) 在区间[a,b] 上变号,则 A = ∫a f (x)dx 表示正负面积的代数和,
有时称为代数面积。
x2 3
例 求 y = 与 y = x + 围成的面积.
2 2
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⎧ x 2
⎪ y =
解: 由 2 ,解得交点 a = −1,b = 3。
⎨ 3
⎪y = x +
⎩ 2
2
3 ⎛ 3 x ⎞ 16
A = ∫−1⎜ x + −⎟dx = 。
⎝ 2 2 ⎠ 3
2 9
例 求非负常数 a ,使 y = x − x 与 y = ax 所围封闭区域之面积为。
4
1−a 2 9 3
[解] 当 0 < a < 1时, ∫(x − x − ax)dx = , a = 1−< 0 (舍)
0 4 3 2
0 2 9 3
当 a ≥1时, ∫(x − x − ax)dx = , a = 1+ .
1−a 4 3 2
2. 参数方程下区域的面积
设区域的边界由曲线
⎧x = x(t)
L : ⎨()α≤ t ≤β确定, 其中 x(t), y(t) 连续可导,
⎩y = y(t)
β
y(t) ≥ 0, 则区域的面积为 A = ∫α y(t)x′(t)dt 。
x 2 y 2
例 求椭圆+ =1围的区域的面积.
9 4
解:解法一第一象限部分的边界为
2 2
y = 9 − x , 0 ≤ x ≤ 3,
3
π
1 2 2 2
A = 4∫ 9 − x dx = 24∫ 2 cos tdt = 6π。
0 3 0
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x 2 y 2
解法二椭圆+ =1的参数方程为
9 4
π
x = 3cost, y = 2sin t, 0 ≤ t ≤,
4
3 0 0
A = 4∫0 ydx = 4∫π y(t)dx(t) = 4∫π 2sint(−3sint)dt = 6π
2 2
设区域 D 为( x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ)
D = {}(x, y)α≤ϕ≤β,0 ≤ρ≤ρ(ϕ) ,
β 1 2
则其面积为 A = ∫ρ()ϕ dϕ。
α 2
例 求心形线 r = a(1+ cosϕ) (a > 0)所围的面积.
1 2π 2 π 2
解: A = ∫ r (ϕ)dϕ= ∫ r ()ϕ dϕ
2 0 0
π
2 π 4 ϕ 2 4 3 2
= 4a ∫ cos dϕ= 8a ∫ 2 cos tdt = πa 已知曲线
0 2 0 2
y = a x ( a > 0)与曲线 y = ln x 在点(x0 , y0 ) 处有公切线。
(1)求常数 a 及切点之坐标值
(2)求上述二曲线与 x 轴所围图形的面积
1 1 −1
[解](1)由 a = ,a x0