文档介绍：第7章积分的应用典型例题与综合练习
一、典型例题
1、积分的几何应用
例1已知曲线在任一点处的切线斜率为,且曲线过点,试求该曲线的方程.
解:由,得

例2求由曲线和直线所围成的平面图形的面积.
解: 与的交点为和,
在区间上有
故所求平面图形的面积为
例3 求由曲线与轴及直线所围成的平面图形的
面积.
解:与轴的交点为,在区间上有
在区间上有
故所求平面图形的面积为

例1某产品边际成本为(万元/百台),边际收入为(万元/百台),固定成本为5(万元),求利润函数.
解:
[方法1]
将代入上式得,即有
将代入上式得,即有
由此得
[方法2]
由此得
例2已知某商品的边际成本为(万元/台),固定成本为10
万元,又已知该商品的销售收入函数为(万元),求(1)使利润
最大的销售量和最大利润;(2)在获得最大利润的销售量的基础上,再销售
20台,利润将减少多少?
解:(1)
,
,可知为最大值点,即销售量为200台时,
(2)
即在获得最大利润的销售量基础上,再销售20台,利润将减少100万元.
例3假设某国某年国民收入在国民之间分配的劳伦茨曲线近似地由表示,试求该国的基尼系数.
解:因为
所以基尼系数为7/24.

例1求微分方程的通解.
解:整理原方程得
两端积分
得原方程的通解为
例2求初值问题,的解.
解:方程为一阶线性微分方程
其中,两端乘以积分因子,即,
得
上式两端积分得
由此得原方程的通解为
将代入上式得,由此得初值问题的解为
;           -1;    3.,
4.; 
二、典型例题

1. .
,且曲线过点,则该曲线方程为.
,固定成本为300元,那么平均成本函数,若销售单价为20元,则利润函数.
,用定积分表示为.
.
;-1;3.,;4.;

( ).
(A);(B)
(C);(D)
( ).
(A);(B);(C);(D)
,通过点的曲线是( ).
(A)y=x2+4;(B)y=x2+3;(C)y=2x+2;(D) y=4x
、产量、边际成本,又,则总成本函数表示为( ).
(A);(B);(C);(D)
,若销售量由10单位减少到5单位,则收入的改变量是( ).
(A)–550;(B)–350;(C)350;(D)550
,( )是线性微分方程.
(A);(B)
(C);(D)
;;;;;

,判定下列定积分的值为正的有( ).
(A);(B);(C);(D);(E)
( ).
(A);(B);(C);(D);(E)
;