文档介绍：课题: 函数的微分与高阶导数
目的要求:
掌握微分的定义与计算
掌握可微与可导的关系
掌握微分的应用:近似计算
掌握高阶导数的计算法则并掌握常用函数的高阶导数形式
教学重点:
可微与可导的关系,高阶导数的计算法则
教学难点:
可微与可导的关系,高阶导数的计算法则
教学课时:2--3
教学方法:讲练结合
教学内容与步骤:
微分的概念:
实际工作中,常要计算Dy=f (x+ Dx)-f (x).f (x)的表达式复杂时, Dy的计算也较复杂, . 这一近似公式应满足(i) 好算, (ii)具有起码的精度.
定义设y=f (x)在 x0 的某邻域U(x0)内有定义. 如果 Dy = f (x0+ D x)-f (x0)可表示成Dy = A× D x+o (D x),其中A为只与x0有关而与Dx无关的常数,为的高阶无穷小。
则称函数在点x0处可微,并称其线性主部为函数在点x0处的微分,记为或,即,这样.
注1. 若y=f (x)在x0可微,则微分d y= A× D =1
注2. 当y = f (x)在x0可微时,Dy-dy = o(Dx) (Dx®0)
定理:y=f (x)在x0可微的充要条件是y=f (x)在x0可导. 且当y在x0可微时. dy=f '(x0)D×x.
证:必要性. 若y=f (x)在x0可微. 由定义,Dy=A× D x+o (D x) ,从而
故 y = f (x)在x0可导. 且即
充分性,若y=f (x)在x0可导.
故或
由于故y=f (x)在 x0可微. 且dy=f '(x0)D×x.
定理告诉我们,对于一元函数y=f (x)而言,可微与可导是等价的.
。
f (x)在(a, b)内可微:若y=f (x)在(a, b)内每一点处均可微(可导),则称f (x)在(a, b), 对"xÎ(a, b), 有dy=f '(x)D×x, 称为函数y(在x点)的微分. dy=f '(x)D×x是一个既与x又Dx与有关的量. 这里x 与Dx是独立变化的.
注:记dx=Dx. , 自变量x的微分就等于自变量的增量.
例求函数在时的改变量及微分.
, ,
所以.
例半径为r的球,其体积为,当半径增大时,求体积的改变量及微分。
解:体积的改变量:,显然有,
体积微分为.
微分的几何意义:
设数的图形(如下页图所示),是曲线上点处的切线,设的倾角为,当自变量x有改变量时,得到曲线上另一点,
从右图可知,,则,即.
由此可知,微分,
是当自变量x有改变量时, 曲线在点
,并且有.
微分的运算法则:
因为函数的微分等于导数乘以,所以根据导数公式和导数运算法则,就能得到相应的微分公式和微分运算法则.
、差、积、商的微分运算法则
设函数,根据微分的定义,当u是自变量时,函数的微分是,如果u不是自变量,而是x的导函数