文档介绍：课题: 函数极值与最值

目的要求:
掌握函数极值与最值的判别法
掌握初等函数极值与最值的求法
掌握函数单调性的判断及单调区间的求法

教学重点:
掌握初等函数极值与最值的求法
教学难点:
掌握初等函数极值与最值的求法
教学课时:2
教学方法:讲练结合
教学内容与步骤:
函数的单调性:
从函数曲线的图形来看,函数曲线的升降与曲线切线的斜率密切相关,斜率为正时,上升,为负时,曲线下降。
定理:设y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,
若,有f’(x)>0,则f(x)在[a,b]上严格单调增加;
若,有f’(x)<0,则f(x)在[a,b]上严格单调减少;
区间(a,b)称为单调区间。单调递增区间或单调递减区间
证:拉格朗日中值定理:在x1与x2之间,
注:任一区间总可分为单调递增区间与单调递减区间的并。分点为函数一阶导数值为零的点或导数值不存在的点。
练习:求函数f(x)=的单调区间。
解:=0时,x=0, 故:函数单调递增,
函数单调减少。
练习:求函数的单调区间
解:,令,得驻点, .
在内,,在内,,(3,+∞),
练习:求函数的单调区间
解:,时,不存在。在内,;在内,,
练习证:x>0时, x>ln(x+1) >x/(1+x)
证:令y=x-ln(x+1),y’=x/(x+1)>0,单调递增又y(0)=0,故 y>0
令y=ln(x+1)-x/(x+1),y’=x/(1+x)2>0, 单调递增又y(0)=0,故 y>0
注:证明不等式的两个步骤:(1)建立函数关系,(2)证明单调性,(3)找零点
函数的极值:
定义设函数在的某邻域内有定义,且对此邻域内任一点,均有,则称是函数的一个极大值;同样,如果对此邻域内任一点,均有,,称为极值点.
观察可导函数在取得极值处切线特征,可以看出,可导函数在取得极值处的切线是水平的,即极值点处,必有:,
于是有下面的定理.
定理(极值的必要条件) 设在点处具有导数,且在点取得极值,:对于可导函数由定理1知,,,,它的极值点还可能是使导数不存在的点,,
,但处导数不存在,但是,是它的极小值点。
定理(极值的第一充分条件)设在点连续, x由小增大经过时,如果(1) 由正变负,那么是极大值点;(2) 由负变正,那么是极小值点;(3) 不变号,那么不是极值点
证(1)由假设知,在的左侧邻近单调增加, 即当时,;在的右侧邻近单调减少,即当时,.因此是的极大值点, 是的极大值.
类似可以证明(2).
(3) 由假设,当 x在的某个邻域内取值时,,所以,在这个邻域内是单调增加(减少)的,因此不是极值点,证毕.
定理(极值的第二充分条件) 设在点处具有二阶导数,且,.
如果,则在点取得极大值;
(2) 如果,则在点取得极小值.
证(1)由于,所以:,
所以,在的某邻域内必有: , ,
因为,所以有, .
从而知道,当时,;当时,,由定理2知为的