文档介绍：第四章常微分方程
§4．1 基本概念和一阶微分方程
甲内容要点
一．基本概念
1．常微分方程
含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。
2．微分方程的阶
微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶
3．微分方程的解、通解和特解
满足微分方程的函数称为微分方程的解；
通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；
通解有时也称为一般解但不一定是全部解；
不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。
4．微分方程的初始条件
要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。
5．积分曲线和积分曲线族
微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。
6．线性微分方程
如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。
二．变量可分离方程及其推广
1．变量可分离的方程
（1）方程形式：
通解
（注：在微分方程求解中****惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）
（2）方程形式：
通解
2．变量可分离方程的推广形式
（1）齐次方程
令，
则

（2）
令，
则

（3）
①当情形，先求出的解
令，
则属于齐次方程情形
②当情形，
令
则
令，
则
属于变量可分离方程情形。
三．一阶线性方程及其推广
1．一阶线性齐次方程

它也是变量可分离方程，通解公式，（为任意常数）
2．一阶线性非齐次方程

用常数变易法可求出通解公式
令
代入方程求出
则得
3．贝努利方程

令
把原方程化为
再按照一阶线性非齐次方程求解。
4．方程：
可化为
以为自变量，为未知函数
再按照一阶线性非齐次方程求解。
四．全微分方程及其推广（数学一）
1．全微分方程
，满足
通解：，
其中满足
求的常用方法。
第一种：凑全微分法

把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就很有帮助。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
（11）；
（12）；
（13）；
（14）；
（15）；
（16）；
第二种：特殊路径积分法（因为积分与路径无关）

第三种：不定积分法
由得

对求导，
得，
求出积分后求出
2．全微分方程的推广（约当因子法）
设不是全微分方程。
不满足
但是存在
使得为全微分方程，
也即满足
则称为约当因子，
按全微分方程解法仍可求出
通解。
这种情形，求约当因子是关键。
乙典型例题
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一．变量可分离方程及其推广
例1．求下列微分方程的通解。
（1）
（2）

例2．求下列微分方程的通解。
（1）（2）
（3）（4）