对称矩阵的相似矩阵PPT学习教案.pptx

文档介绍：会计学
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对称矩阵的相似矩阵
§4 对称矩阵的相似矩阵
定理5 对称矩阵的特征值为实数.
证 设复数 λ 为对称矩阵 A 的特征值 , 复向量 x 为 λ 对应的特征向量,即Ax = λ x , x≠0 。
两式相减,得
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是实系数方程组,由
知必有实的基础解　 系,所以对应的特征向量可以取实向量.
定理6
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证
定理7 设 A为 n阶对称矩阵,λ是A的特征方程的r重根,则矩阵A－λ E的秩R(A－λE)=n－r,从而对应特征值λ恰有r个线性无关的特征向量.
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定理8 设A为 n 阶对称矩阵，则必有正交矩阵P，使
P-1AP=Λ
其中Λ是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵.
证 设 A的互不相等的特征值为
它们的重数依次为
根据定理5及定理7知,对应特征值
把它们施密特标准正交化,
知这样的特征向量共可得n个.
按定理6知对应于不同特征值的特征向量正交,故这 n个单位特征向量两两正交 。于是以它们为列向量构成正交矩阵P,并有
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例1 设
解 ①由|A－λE| = 0 , 求 A 的全部特征值.
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