文档介绍：实数与向量积定义：
一般地，实数λ与向量a 的积是一个向
量，记作λa，它的长度和方向规定如下：
(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa 的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa 的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
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运算律：
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：
① λ(μa)=(λμ) a
② (λ+μ) a=λa+μa
③ λ(a+b)=λa+λb
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已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°）叫做向量a与b的夹角。
O
B
A
θ
向量的夹角
当θ＝0°时，a与b同向；
O
A
B
当θ＝180°时，a与b反向；
O
A
B
B
当θ＝90°时，称a与b垂直，
记为a⊥b.
O
A
a
b
注意:同起点
夹角的范围：
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我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s
θ
F
S
力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。
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1、向量的数量积的定义
已知两个非零向量 与 ，它们的
夹角为θ，我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积,点乘），即
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0．
注: 1、两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定
2、 a · b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．
符号“·”在向量运算中不是乘号，不能省略.
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思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
当0°≤θ ＜ 90°时 为正；
当90°＜θ ≤180°时 为负。
当θ =90°时 为零。
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O
O
O
2、向量数量积的几何意义
如图 ，过点B作 垂直于直线OA，垂足为 ，则
O
A
B
θ
O
A
B
θ
O
A
B
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2、向量数量积的几何意义
注：
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3、向量数量积的性质
特别地，
设
是非零向量，
方向相同的
单位向量，
的夹角，则
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4、数量积运算律
经验证，数量积满足如下运算律
（交换律）
（数乘结合律）
（分配律）
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