文档介绍:§2 传染病模型
§3 战争模型
§4 最优捕鱼问题
§1 微分方程模型
微 分 方 程 模 型
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§1 微分方程模型
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一、微分方程模型的建模步骤
在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、
社会等学科中的许多系统,有时很难找到该系统有关
变量之间的直接关系——函数表达式,但却容易找到
这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式,
这时往往采用微分关系式来描述该系统——即建立微
分方程模型 。我们以一个例子来说明建立微分方程模
型的基本步骤。
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例1 某人的食量是10467(焦/天),其中5038
(焦/天)用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。
在健身训练中,他所消耗的热量大约是69
(焦/公斤•天)乘以他的体重(公斤)。假设
以脂肪形式贮藏的热量100%地有效,而1公斤脂
肪含热量41868(焦)。
试研究此人的体重随时间变化的规律。
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模型分析
在问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键
词,但要寻找的是体重(记为W)关于时间t的
函数。如果我们把体重W看作是时间t的连续可
微函数,我们就能找到一个含有 的微分方程。
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模型假设
(t)表示t时刻某人的体重,并设一天开始时
人的体重为W0。
2.体重的变化是一个渐变的过程。因此可认为
W(t)是关于连续t而且充分光滑的。
3.体重的变化等于输入与输出之差,其中输入
是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收;
输出就是进行健身训练时的消耗。
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模型建立
问题中所涉及的时间仅仅是“每天”,由此,
对于“每天”体重的变化=输入-输出。由于考
虑的是体重随时间的变化情况,因此,可得
体重的变化/天=输入/天—输出/天。代入具
体的数值,得
输入/天 = 10467(焦/天)—5038(焦/天)
=5429(焦/天),
输出/天 = 69(焦/公斤•天)×(公斤)
= 69(焦/天)。
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体重的变化/天=△W/△t(公斤/天),
当△t→0时,它等于dW/dt。
考虑单位的匹配,
利用 “公斤/天=(焦/每天)/41868(焦/公斤)”,
可建立如下微分方程模型
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模型求解
用变量分离法求解,模型方程等价于
积分得
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从而求得模型解
就描述了此人的体重随时间变化的规律。
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现在我们再来考虑一下:此人的体重会达到平衡吗?
显然由W的表达式,当t→∞时,体重有稳定值W → 81 。
我们也可以直接由模型方程来回答这个问题。
在平衡状态下, W是不发生变化的。所以
这就非常直接地给出了W平衡=81。
所以,如果我们需要知道的仅仅是这个平
衡值,就不必去求解微分方程了!
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