文档介绍：1
第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化
复****正交矩阵与正交变换的概念
定义4
如果 n 阶矩阵 A 满足
（即 ），
那么称 A 为正交矩阵.
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（6）性质：正交变换不改变向量的长度
第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化
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四、特征值与特征向量的概念
：设 A 是 n 阶矩阵，如果 λ和 n 维非零列向量 x 使关系式：
（1）
成立，那么称数 λ为方阵 A 的特征值，非零向量 x 称为
A 对应于特征值 λ的特征向量.
注意：定义的几个要点
（1） A 是 n 阶矩阵，即方阵
（2）特征值 λ是数，
（3）特征向量x 是非零向量
（1）特征值的求法
第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量
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由定义（1）式也可写成:
即
（2）
由于特征向量x非零，所以方程（2）有非零解的充要条件是
（3）
（3）式是以λ为未知数的一元 n 次方程，称为 A 的特征方程
在方程（3）或（3*）中A 的特征值λ就是特征方程的根.
因此, n 阶矩阵 A 有 n 个特征值(重根按重数计算).
所以，求特征值就是解特征方程求出n个根的过程
即
（3*）
称为方阵 A 的特征多项式.
经常地，记
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（2）特征向量的求法：
设 为方阵 A 的一个特征值，
则由方程
可求得非零解 ，
便是 A 的对应于特征值 的特征向量.
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（1）利用特征值计算行列式
若 n 阶矩阵 A 的特征值为
则
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1)
2)
（2）
1) 设λ是方阵 A 的特征值，证明:
证：
因λ是 A 的特征值，
所以存在 使得
于是
依次类推可得:
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（3）不同的特征值对应的特征向量线性无关
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证
设有常数 ，
即
则
同理:
将上面各式写成矩阵的形式:
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或:
当 个不相同时，
范德蒙德行列式
则该方程组有唯一零解
但 ，
所以
所以向量组 线性无关.
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