文档介绍：1 万有引力公式的推导
2 理想单摆的摆动周期
3 量纲分析法理论
4 航船的阻力
量纲分析法建模
1
物理量大都带有量纲，其中基本量纲通常是质量（用M表示）、长度（用L表示）、时间（用T表示），有时还有温度（用Θ表示）。其他物理量的量纲可以用这些基本量纲来表示，如速度的量纲为LT-1，加速度的量纲为 LT-2，力的量纲为 MLT-2，功的量纲为 ML2T-2等。
§ 量纲分析法建模
量纲分析的原理是：当度量量纲的基本单位改变时，公式本身并不改变，例如，无论长度取什么单位，矩形的面积总等于长乘宽，即公式 S=ab并不改变。此外，在公式中只有量纲相同的量才能进行加减运算，例如面积与长度是不允许作加减运算的，这些限止在一定程度上限定了公式的可取范围，即一切公式都要求其所有的项具有相同的量纲，具有这种性质的公式被称为是“量纲齐次”的。
2
例3 在万有引力公式中，引力常数G是有量纲的，根据量纲齐次性，G的量纲为M-1L3T-2，其实，在一量纲齐次的公式中除以其任何一项，即可使其任何一项化为无量纲，因此任一公式均可改写成其相关量的无量纲常数或无量纲变量的函数。例如，与万有引力公式
相关的物理量有：G、m1、m2、r和F。
现考察这些量的无量纲乘积
的量纲为
由于是无量纲的量，故应有：
3
此方程组中存在两个自由变量，其解构成一个二维线性空间。取（a,b）=（1,0）和（a,b）=（0,1），得到方程组解空间的一组基（1,0,2,-2,-1）和（0,1,-1,0,0），所有由这些量组成的无量纲乘积均可用这两个解的线性组合表示。两个基向量对应的无量纲乘积分别为：
而万有引力定律则可写成f(π1,π2)=0，其对应的显函数为：π1=g(π2)，即
万有引力定律
4
（Backinghamπ定理）方程当且仅当可以表
示为 f（π1，π2…）=0时才是量纲齐次的，其中 f是某
一函数，π1，π2…为问题所包含的变量与常数的无量
纲乘积。
设此变换的零空间为 m维的，取此零空间的一组基e1,……,em，并将其扩充为k维欧氏空间的一组基e1,……,em, em+1,……ek 令πi=g-1(ei), i=1,…,k,显然，π1，…, πm是无量纲的，而πm+1,…, πk是有量纲的（若k>m）。由于公式量纲齐次当且仅当它可用无量纲的量表示，故方程当且仅当可写成f(π1，…, πm)=0时才是量纲齐次的，定理证毕。
证设x1,…,xk为方程中出现的变量与常数, ,对这些变量与常数的任一乘积 ,令函数g建立了xi(i=1,…,k)的乘积所组成的空间与k维欧氏空间之间的一个一一对应。现设涉及到的基本量纲有n个,它们为y1,…, 该xi的乘幂,设此乘幂的量纲为令
易见dg-1是k维欧氏空间到n维欧氏空间的一个变换，这里的g-1为g的逆变换。
5
例4（理想单摆的摆动周期）
考察质量集中于距支点为 l 的质点上的无阻
尼单摆，（如图），其运动为某周期 t 的
左右摆动，现希望得到周期 t 与其他量之间
的关系。
θ
l
mg
考察，的量纲为MaLb+dTc-2b若无量纲，则有
6
此方程组中不含 e，故（0, 0, 0, 0, 1）为一解，对应的π1=θ即为无量纲量。为求另一个无纲量可令b=1，求得（0，1，2，-1，0），对应有
故单摆公式可用
表示。
从中解出显函数
则可得：
其中
此即理想单摆的周期公式。当然 k(θ)是无法求得的，事实上，需要用椭圆积分才能表达它。
7
量纲分析法
量纲分析是20 世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种
方法，他在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次性，确定各
物理量的关系。
量纲齐次原则
用数学公式表示一物理定律时，等号两端必须保持量纲的一致
所谓量纲分析就是利用量纲齐次原则来寻求物理量之间的关系
下面用一个简单的例子来说明
单摆运动：质量为m的小球系在长度为l的线一端，作单摆运动
求其周期t的表达式
在这个问题中出现的物理量有t,m,l,g，设他们之间有关系
1--4
8
按照量纲齐次原则应有：
1--5
9
可得出其解为
得
量纲齐次定理