文档介绍：本征值和本征向量
（特征值和特征向量）
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一、本征值和本征向量的概念和求法
1、概念
定义1：设，且，使得
，
则叫做的一个本征值，而叫做
的属于本征值的本征向量。
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例1、令表示定义在全体实数上的可微分任意次的实函数所成的向量空间。是求导数运算。是
的一个线性变换。，求的本征值和本征向量。
例2、令是数域上一切一元多项式所成的向量空间，是
的一个线性变换。求的本征值和本征向量。
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2 、求法
现设是数域上一个维向量空间。取定的一个基 ,令线性变换关于这个基的矩阵为
设是的属于本征值的本征向量。

又
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，有，
即：
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以上齐次线性方程组有非零解
系数行列式
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反过来，若满足等式，则齐次线性方程组有非零解，因为满足，即
是的一个本征值。
定义2：设是数域上一个阶矩阵。行列式
叫做矩阵的特征多项式。
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把阶矩阵的特征多项式在复
数域内的根叫做矩阵的特征根。设是矩阵的一个特征根，那么齐次线性方程组的一个非零解叫做矩阵的属于特征根的一个特征向量。
显然，。
等式表明，如果是线性变换
关于的一个基的矩阵，而是的
特征多项式的根：。
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例3、设上三维向量空间的线性变换关于基的矩阵是
，
求的本征值和相应的本征向量。
例4、求矩阵
的特征根和相应的特征向量。
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二、相似矩阵的特征多项式的关系
定理：相似的矩阵有相同的特征多项式。
例5、已知与相似，
求的值。
这样，我们可以定义的线性变换
的特征多项式是关于的任意一个基的特征多项式，记作：。
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