文档介绍：依然是旧版书的题号
证明：若E为有界集，根据第15题则存在E中的闭集F使得mF〉O,于是F为有界闭集。假设 Vx w 氏〉0,s"i（EnO（x,氏））=0 ,就有 FuU0（x,Q），根据 Borel 有
xeF
限覆盖定理知存在P，使得Fc（j0（x;,^ ）,从而
Z=1
p P
加F =加（尸门［^0（兀，心丿）<工加（£门0（兀，/心））=0，矛盾，故假设不成立，即需证结 z=l i=\
论成立。
co oo
若E为无界集，设Bk =O（,0,k）,k=l,2,...,则E = E^Rn =En（|J5J = °
k=\ k=l
由于协E〉0,于是必然存在k,使得m（EC\Bk）>Q,而Eg 为有界集，由上即知
3x e E A , .\/3 > 0, m（（E A B,） A 0（x, ^）） > 0 ,故而对 E 而言，相应结论亦成立。
注：此题当然可以不使用Borel有限覆盖定理而得到证明，但作为替代，我们需要求助于习题一的24题（旧版书），此时关于E是否有界的讨论就可以省掉。
在此，我们看到习题一的24题（旧版书）的好处，它能将不可数覆盖转化为至多可数覆盖，从而可以运用（外）测度的相关运算性质。
另外，课本上“提示：利用闭集套定理”，那样做也是可以的，但是感觉繁琐了些，就不在此写出了。
附：
对《实变函数参考答案（3）》的补充
（一）：应该将||处的九4改为m{B - A） “7证明：若mA = +00 ,则m(A U B) + m(A A B) = mA + mB两端皆是+ 8,等式自然成立。
若 mA < +8 ,则加(4 U 5) = mA + m(B - A),mB = m(A Cl B) + m(B - A),
于是 m{A U B) + m{A Pl B) = mA + m(B -A) + mB - m(B - A) = mA + mB ,等式亦成立。
（二）（在看第三章时因为有个位置需要，所以我又重新想了下，）想到更简洁的解答，见下：
：
命题：E为可测集 o V^>0,3开集GnE,闭集FuE, (G — F)<&
证明：(=)分两步：>0,3开集GnE,.“?(G —E)<£/2
b. Vf >0,3闭集FuE, (E-F) <£12
下面一一证明。
这里我们需要做一个讨论：
V&〉0,当加E<+8,由外测度的定义，存在开长方体
00 00 00
Il,I2,...,Ik,...^\Jlk,且工以| <"/ + £,于是令G = \Jlk为包含E的开集，且满足 k=\ k=l k=l
”?(G-E)<&/2 (这部分其实课本上有详细证明)
00 00
当证=+8，设 Bk=O(0,k),则 R”=U$‘ 于是 E = \J(BkC\E),设
k=l k^l
00
Ek =Bk^E,就有 E = IM。因为mEk < +oo ,故由上面的结果，可知存在开集
k=\
p 8
Gk二Ek，s・t・m(Gk—Ek)<F，令G = \jGk为包含E的开集，且
2 k=i
00
m(G 一 E) V 工一仗)< £ / 2。
k=\
对E'，则0£〉0,存在开集M ^Ec,(M-Ec)<e/2,令
F=MC为包含在E中的闭集,且m(E-F) = m(M-Ec)<s/2
(u)参见原来的15题，此处不再赘述。
总结：关于Lebesgue可测集的结构这一节，有几个结论希望大家记住：
【1】E为可测集ob£〉0,m开集GoE，闭集FuE, .“?(G-尸)<£
【2】E为可测集，则存在G$型集GqE ,化型集F°uE,使得
mGs = mE = mF^, m(Gs —E) = m(E-Fa) =0
【3】EuR"为一般的集合，贝(J存在型集G§=E ,使得mG,=mE；若m"E < +8,则Gb -E的可测子集必为零测集。
（注意：对【3】，，其实有问题，以这个为准，我下次课会说明）
25,26,27按新书题号（因为I口书上没有），后面的按口书题号
证明:
00 00 00 00
于是
因为工 m{Ek) < co,所以 lim 工 m{Ek ) = 0,并且有 m(\\ EJ < Y m(Ek) < co k=l W_>CO k=m k=\ k=\
00 00 00 00
|J乞)=lim"?(U"?(仗)=°。
k—>co * ' m—>00
m=l