文档介绍：主要内容
随机变量的函数的分布
难点
随机变量函数的取值范围
重点
会求两个随机变量的和、商、
最大及最小值的分布
实际背景
冷冗余系统:
设有两个部件、其工作寿命分别为
部件坏了,换上备用部件继续工作
热冗余系统:
部件、并联同时工作,仅当两个部件都损坏时,整个系统才失效
串联系统:
部件、串联同时工作,只要有一个部件损坏,整个系统就失效
问题
怎样确定上述各系统的寿命
?
系统寿命
X+Y
系统寿命
X Y
max{ , }
系统寿命
X Y
min{ , }
问题
question
怎样求
若
的分布
?
一般地
设是一个二元函数
怎样求
的分布?
思路:
设,则的分布函数为
(一)
的分布
Z X Y
=
+
若相互独立,则的密度函数为
称为卷积公式,记为
由独立性及卷积公式有
例
设相互独立,且
求的分布密度.
令
则

设相互独立,且
一般地,若
相互独立,且
则对于不全为零的常数有

组合仍服从正态分布
求串联后的总电阻的概率密度.
例
某电气设备中的两个部件存在接触电阻
两个部件的工作状态是相互独立的,概率密度均为
其它
由卷积公式有
被积函数的非零区域是
其它
其它
其它
例
设相互独立且都服从参数为的指数分布,
的概率密度.
求
由卷积公式有的密度函数为
实际背景
冷冗余系统的系统寿命
的密度函数
X EXP
( )
~
θ
研究问题
question
相互独立且都服从参数为的指数分布
设
的分布密度.
求
提示:
,则
记
设法导出递推公式,然后用归纳法证明
例
设独立同分布,其密度函数为
的概率密度.
求
时
当
的分布函数为
思考题
在本例条件下,证明
相互独立
(瑞利Rayleigh分布)
例
设相互独立同服从正态分布
求
的概率密度.
时
当
的分布函数为