文档介绍：§ 条件概率
一条件概率
二乘法公式
三全概率公式
四贝叶斯公式
一条件概率
描述随机试验的概率模型是
概率模型是由
随机试验的“一定条件”来决定的。
在知到事件A己发生的信息后,样本空间就由Ω缩小为A,概率测度就由无条件概率P(·)变为条件概率P(·|A)。
这个“一定条件”就是关于随机试验的先验信息。
条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。它所考虑的是在事件 A 已经出现的条件下事件 B 出现的概率。
一批同型号产品由甲、乙两厂生产,产品结构如下表:
例1
厂别
甲厂
乙厂
合计
数量
等级
合格品
次品
合计
从这批产品中随意地取一件,
则这件产品是次品的概率为:
在已知取出的产品是甲厂生产的条件下,则
它是次品的概率为:
P (B ) =
P (AB) =
B=“取出的产品为次品”
A=“取出的产品是甲厂生产的”
P (A ) =
AB=“取出的产品是甲厂生产的次品”
若Ω中有n个样本点,
A中有m个样本点,
AB中有k个样本点,则
P (B | A ) = —
k m
古典概型中条件概率的计算公式
在几何概型中,
在古典概型和几何概型这两类等可能概率模型中总有
Ω
A
B
为在事件A已发生的条件下事件B发生的条件概率.
P (B | A ) = ———
P (AB )
P (A )
设A、B是某随机试验中的两个事件,且
称
条件概率的定义
容易验证,条件概率P(●|A)符合概率定义中的三个条件
1○非负性:对于每一事件B,有P(B|A)≥0;
2○规范性:对于必然事件Ω,有P(Ω|A)=1;
3○可列可加性:设B1,B2,…是两两互不相容的事件,
则有
Ω
A
B
例
解
已知第二次取到的是黑球的条件下,第一次取到的是黑球的概率与已知第一次取到的是黑球的条件下,第二次取到的是黑球的概率相同.
P(B|A)与P(B)的大小的比较
= , P(B|A)=
≠且无包含关系,则P(AB)的大小决定
P(B|A)与P(B)的大小关系。
比如对P(A)=, P(B)=
Ω
A
B
0
≤P(B)
说明
在有些问题中,事件A与事件B之间存在因果关系。
若条件A是引起事件B的原因,此时条件概率P(B|A)表示原因A引起结果B的概率。
若条件A是由事件B引起的结果,此时条件概率P(B|A)表示结果A由原因B引起的概率。