文档介绍：第五章刚体定轴转动
刚体:任何情况下形状和体积都不改变的物体(理想化模型)。
刚体是特殊的质点系,其上各质点间的相对位置保持不变。有关质点系的规律都可用于刚体,而且考虑到刚体的特点,规律的表示还可较一般的质点系有所简化。
§1 刚体的运动
一. 刚体的运动形式
在运动中,如果连接刚体内任意两点的直线在各个时刻的位置都彼此平行,则这样的运动称为刚体的平动。平动是刚体的基本运动形式之一,刚体做平动时,可用质心或其上任何一点的运动来代表整体的运动。以前所讲过的关于质点的运动学规律都适用于刚体的平动。
转动也是刚体的基本运动形式之一,它又可分为:
定轴转动:运动中各质元均做圆周运动,且各圆心都在同一条固定的直线(转轴)上。(本章着重讨论定轴转动)
定点转动:运动中刚体上只有一点固定不动,整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动(如陀螺的运动)。
在动力学的处理中,通常选取质心为基点比较方便。
二. 刚体转动的描述(运动学问题)
(1)角量的描述
基点O
v
·
ω
r
r
P
×
瞬时轴
刚体
刚体绕基点O的转动,其转轴是可以改变的。为反映瞬时轴的方向及刚体转动的快慢和转向,引入角速度矢量。
式中是刚体绕瞬时轴转动的无限小角位移。
规定角速度的方向沿瞬时轴,且与刚体转向成右手螺旋关系。
为反映刚体角速度的变化情况,引入角加速度矢量
一般情况下,并不一定沿着瞬时轴。
v
·
ω
r
r
P
×
基点O
瞬时轴
刚体
在定轴转动的情况下,和都只有沿固定转轴的分量,此时可用代数量和来表示角速度和角加速度。设定转轴的取向,规定转向与转轴取向成右手螺旋关系时的和为正量,反之为负量。
(2)线量和角量的关系
刚体上任意点P都在绕瞬时轴转动,
P点线速度:
P点线加速度:
称作旋转加速度;
称作向轴加速度。
刚体
O
v
P
×
ω,α
r
r
定轴
·
参考方向
θ
z
此时转轴固定,矢量退化为代数量。刚体上各点都绕同一轴作圆周运动,且各点都分别相同。
当恒定时,刚体作匀角加速转动,此时有运动学关系:
Fi
刚体
vi
O
×
ω,α
ri
ri
定轴
·
z
θ
i
mi
Δ
§2 刚体的定轴转动定律
把刚体看作无限多质元构成的质点系,则
令─刚体对z轴的转动惯量
则,
即─转动定律
其中是对z轴的外力矩和。定轴情况下,可不写下标z,记作: ,
J反映刚体的转动惯性。
转动定律与牛顿第二定律相比,有
M~ F , J ~ m , ~ a 。
§3 转动惯量的计算
J由质量对轴的分布决定。
一. 常用的几种转动惯量表示式
R
m
O
R
m
C
C
A
m
细圆环:
均匀圆盘:
均匀细杆:
,
对同一轴J具有可叠加性
C
d
m
JC
J
平行
×
§4 转动定律应用举例
定轴O
·
R
t
h
m
v0= 0
绳
已知:如图示,轮 R = ,
m =1kg,vo=0,h =,绳轮间无相对滑动,绳不可伸长,下落时间t =3s。
求:轮对O轴J =?
解:动力学关系:
对轮: (1)
对m: (2)
α
·
R
G
T
N
T =–T
′
mg
m
a
运动学关系:
(3)
(4)
(1)~(4)联立解得
分析结果:·单位对;
·h、m一定,J↑→t↑,合理;
·若J = 0,得,正确。
代入数据:
§5 定轴转动中的功能关系
a
dq
z
x
ω
q
·
轴
r
F
力矩的功
力矩的空间积累效应:
力矩的功
二. 定轴转动动能定理
令─转动动能
于是得到刚体定轴转动动能定理:
四. 应用举例
对于包括刚体的系统,功能原理和机械能守恒定律仍成立。
[例]已知:如图示,均匀直杆质量为m,长为l,初始水平静止。轴光滑,
θ
·
·
ω
轴
O
C
A
B
l , m
l /4
。
求:杆下摆到角时,角速度?轴对杆的作用力?
解:(杆+地球)系统,只有重力作功,E守恒。
初态:
末态:
则: (1)
由平行轴定理,
有(2)
(1)、(2)解得: 。
应用质心运动定理求轴力: