文档介绍：第十七章导热问题的分析解法
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导热的能量方程为,
如果考虑常物性,则能量方程变为,
于是,导热方程有以下三种基本类型:
傅立叶方程——无内热源——抛物线偏微分方程
泊桑方程——稳态
拉普拉斯方程——无内热源/稳态——椭圆形偏微分方程
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当导热稳态、无内热源时,导热方程表现为拉普拉斯形式,
上述方程可用分离变量法求解。设解的形式是,

则有,

代入方程中,

除以,

分离变量,得,

式中,是与无关的常数。
这样,就把偏微分方程转化为两个常微分方程,

其通解分别为,

变导热系数的拉普拉斯方程
如果导热系数随温度变化的影响不可忽略,就成为一个变导热系数的导热问题。变导热系数的导热方程是一个非线性的方程,可用基尔霍夫变换将非线性变为线性,
做基尔霍夫变换,
则有,

于是上述变导热系数导热方程变为,
上述方程与常物性的导热方程具有完全相同的数学形式。
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当导热稳态、有内热源时,导热方程表现为泊桑形式,
设解的形式是,

则有,

代入方程中,

将上述方程拆解为以下两个方程,

其中是原始微分方程的任一特解,则是满足原始微分方程的齐次微分方程,其通解分别为,

§
当导热非稳态、无内热源时,导热方程表现为傅立叶形式,
用分离变量法求解,设解的形式是,

代入方程中,

等号两边同除以,

令,

和,

则,

得到三个常微分方程,

其通解分别为,

集总热容系统
当物体内部各处之间的温度差与物体和周围介质间的温度差相比可以忽略时,可以把物体看作集总热容系统。
设物体体积为,表面积为,取特征尺度为,只要,物体内部的温度变化就可以忽略。采用集总热容参数法进行分析的误差小于,能满足工程要求。
集总热容系统的非稳态导热,其导热方程可以用热平衡方程式替代,为,
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导热方程的通解,配合以满足边界条件的特征解,构成了该导热问题的基本解,而基本解的线性叠加,则构成了温度场的完全解。因此,我们必须讨论边界条件。
边界条件:研究对象与外部环境之间的换热条件
第一类边界条件:直接给出边界上的温度分布及其随时