文档介绍：****题8. 1
写出下列二次型的矩阵表示:
y) = ax2 + 2bxy + cy2 ； 2)/(x, y, Z)= ax2 +by2 +cf + 2dxy + 2exz + 2fyz；
3)/(xp x,, X,) = + x： - 4xjX, + 2x/3 - 5as-^3；
4)f ( X], X2, X3, X4) = X02 — X3X4.
解：l)y(x,y) = (x,y)
;2)f(x,y,z) = (x,y,z) d b f ;
1，
_ 5.
2
0
0
0
1 ~2
-2
1
-5.
2
1
2
0
2，
4)/(Ap X2, X3, %) = (%,切,X3, x4)
1 2
0
0
0
*
x2 ；
0、
0
-1 2 oj
p
= -1
I 4
解：f(x,y,z) =
9
2 -12对应的二次型，写出该二次型的矩阵并求出该二次型的秩.
0
%2 +
3 J
2y2 +3z2 +8xy+ 6xz-12yz
'14 3、
该二次型的矩阵为A= 4 2 -6 ,R（A）= 3.
b -6 3j
设A为数域尸上的一个邠介可逆对称矩阵，证明AT与A合同.
证明：A是可逆对称矩阵
SkWA = aa~'a = ata~'a,得证
设A为一个邠介对称矩阵，如果对任意一个展隹列向量X,都有X『AX=0,试证明A = 0. 证明：由于A是对称的，且XtAX=0,
即+ 20,X]X, H 1- 2alnxtxn + H 1- 2aOnx^xn H 1-= 0
这说明X'AX为一个零多项式，故有知=% =••• =《“ =0
2a.. = 0 => a-- = a.. = 0,艮= 0
v iJ Ji
5 .证明：
1）在实数域R上，矩阵与矩阵《不是合同的.
2）在复数域C上，矩阵
证明：假设
‘1 0、
、0 b
(1
、()
p
、0
0、
b
0、
-b
与矩阵
‘1 0、
—L
是合同的.
。11
。12 '
,.
（1 0、
=PT
< 1 0、
［“21
aTL)
<0 b
<° 一L
在数域F上合同
故存在可逆矩阵尸=
"11"12 — “2,22 2 _ 2
^^12 ^^22 /
又由
(1
、0
0、
-b
（1 0、
<0 b
P
au =a2l +L"(1)
。11。12 =。21。22 * * (2)
扈=a；+L"(3)
由(1)x(2)得 a： .a；］ = a；,；, + a；］ + a；, + L • •(4) 将⑶代入(4)得a；］+a；2 = -1
(1
、()
p
、o
故有
显然若需矩阵
‘1 0、
、0 b
与矩阵
即是说1）在实数域汽上,
矩阵
0、
-b
()、
J
合同则数域F应是复数域.
与矩阵
‘1 0、
不是合同的.
0、
（1
、0
也可
2）在复数域C上，矩阵
或令p =
与矩阵
‘1 0、
L
是合同的

(1 0
-3、
（0
2 -3、
1)A =
0 2
1
; 2)A =
2
0 1
p—3 1
-b
<-3
1
解：1）显然有/（X],X
2,尤3 ) = X； + 2xl
~X3
-6x,x3 +
,使衫时为对角形矩阵：
=（X]—3工3）2+ 2（切+号）一号
Ni = X] — 3x3
可作线性替换：＜ y2= X2+^2即｛了2 =卜2 -
也=,+3为
n
0
3、
a
0
0、
即BP =
0
2
-1
=
0
2
0
E
0
0
_ 21
~~ J
治=了3
A
2
%3 =为
M = 一 + -3
2)显然有/ (如如工3)= —3xf +4.%工2 — 6.%工3 + ,令〈必=m - y2
、土=2》3
f (xpx2,x3) = 4(J[2 - )-12^^3 -12y2y3 +4y；y3 -4y2y3 -12yf
= 4(yi 一》3)2—4(y2 — 2>3)2
<1 1
0、
(1
0
°)
<1
1
0、
<4
0
0、
则