文档介绍：立体几何三垂线定理
木子德舟提供
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复习目标：
三垂线定理是反映三种垂直之间关系定理，要求熟练掌握三垂线定理及逆定理，并据此能够进行推理、论证和解决有关问题。
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一、引例：如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，求证：BC⊥PB。
思考：
（1）证明线线垂直的方法有哪些？
（2）三垂线定理及其逆定理的主要内容。
证明：
∵PA⊥平面ABC，BC在平面ABC内，∴PA⊥BC，又∠ABC=90°， ∴BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，PB在平面PAB内，∴BC⊥PB
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线线垂直的方法：
（1）a⊥ ,b在内，则a⊥b
（2）a∥b，m⊥b，则a⊥m
（3）三垂线定理及其逆定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
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P
A
O
a
α
三垂线定理包含几种垂直关系？
②线射垂直
P
A
O
a
α
①线面垂直
③ 线斜垂直
P
A
O
a
α
直线和
平面垂直
平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直
平面内的直线和平面的一条斜线垂直
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线射垂直
线斜垂直
P
A
O
a
α
P
A
O
a
α
平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直
平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直
三垂线定理和其逆定理
？
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三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。
线射垂直
线斜垂直
定
理
逆
定
理
线射垂直线斜垂直
定理
逆定理
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二、定理内容阐述：
1、三垂线定理包括5个要素：一面(垂面)；四线（斜线、垂线、射影和平面内的直线。
顺口溜：一定平面，二定垂线，三找斜线，射影可见，直线随便。
2、“三垂线”的含义：
（1）垂线与平面垂直
（2）射影与平面内的直线垂直
（3）斜线与平面内的直线垂直
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三、巩固性练面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线与斜线的位置关系是（）
（A）垂直（B）异面（C）相交（D）不能确定
2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它的另外三个面（）
（A）至多只能有一个直角三角形
（B）至多只能有两个直角三角形
（C）可能都是直角三角形
（D）一定都不是直角三角形
D
C
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四、例题分析：
例1：如图所示，已知PA ⊥平面ABC，∠ACB= 90°， AQ⊥PC，AR⊥PB，试证∆PBC、 ∆PQR为直角三角形。
证明：∵PA⊥平面ABC，∠ACB= 90°， ∴AC⊥BC，AC是斜线PC在平面ABC的射影，∴BC⊥PC（三垂线定理），∴∆PBC是直角三角形；
∴BC⊥平面PAC，AQ在平面PAC内，∴BC⊥AQ，又PC⊥AQ，∴AQ⊥平面PBC，∴QR是AR在平面PBC的射影，又AR⊥PB，∴QR⊥PB（三垂线逆定理），
∴∆PQR是直角三角形。
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