文档介绍：西北师范大学数学与信息科学学院数学实验报告
: .
一、实验目的：
1、初步认识迭代，体会迭代思想的重要性。
2、通过在 mathematica环境下编写程序，利用迭代的方法求解方程的根、线性方程组的解、非线性方程组的解。
3、了解分形的的基本特性及利用 mathematica编程生成分形图形的基本方法，
在欣赏由mathematica生成的美丽的分形图案的同时对分形几何这门学科有一个直观的了解。从哲理的高度理解这门学科诞生的必然性，激发读者探寻科学真理
的兴趣。
4、从一个简单的二次函数的迭代出发，利用 mathematica认识混沌现象及其所蕴涵的规律。
5、 .进一步熟悉Mathematic软件的使用，复****总结 Mathenatic在数学作图中的应用，为便于研究数学图像问题提供方便，使我们从一个新的视角去理解数学问题以及问题的实际意义。
6在学****和运用迭代法求解过程中，体会各种迭代方法在解决问题的收敛速度上的异同点。
二、实验的环境：
学校机房，mathematica 4环境
三、实验的基本理论和方法：
1、迭代(一)一方程求解
函数的迭代法思想：
给定实数域上光滑的实值函数f(X)以及初值Xo定义数列
Xn f (Xn)，n = 0,1,2,3/ ， (1)
Xn，n =0,1,2,3/，称为f(x)的一个迭代序列。
(1) 方程求根
给定迭代函数f(x)以及初值X。利用(1)迭代得到数列Xn，n =0,1,23….
如果数列收敛到某个X*，则有
即X*是方程X = f(X)的解。由此启发我们用如下的方法求方程 g(x) = 0的近似
解。
将方程g(x)=0改写为等价的方程
x = f(x)， (3)
然后选取一初值利用(1)做迭代。迭代数列xn收敛的极限就是方程g(x)=0的解。
为了使得迭代序列收敛并尽快收敛到方程 g(x)= 0的某一解的条件是迭代
函数f(x)在解的附近的导数将的绝对值尽量小，因此迭代方程修订成
x 二 h(x)二■ f (x) (1「％)x ⑷
选取■使得山(x)|，我们可以令
h (x)二■ f (x) 1 - ■ = 0,
1
1 - f (x)
于是
f(x) -x
f (x)-1
特别地，如果取f(x)二g(x) x,则可得到迭代公式
xn 1
g(Xn)
g (xn)
,n =0,1,
X* = f (x*). (2)

西北师范大学数学与信息科学学院数学实验报告
(2) 线性方程组的数值解的迭代求解理论与矩阵理论给定一个n元线性方程组
_a1 n X1
ann xn - bn?
第#页共25页
西北师范大学数学与信息科学学院数学实验报告
第#页共25页
西北师范大学数学与信息科学学院数学实验报告
或写成矩阵的形式
第#页共25页
西北师范大学数学与信息科学学院数学实验报告
Ax 二 b, (7)
其中A = (aij)是n阶方阵,x = (x「X2,…Xn)T及b = (bid…,bn)T均为n维列向量.
熟知，当矩阵A的行列式非零时，，快速地寻求大型的线性方程组的数值解释科学工程计算中非常重要的任务 .而迭代法
常常是求解这些问题的有效方法之一。
用迭代法求解线性方程组的思想与上一小节介绍的方程求根的方法是类似的。将方程组(7)改写成
x = Mx f, (8)
其中M =伸訂是n阶矩阵，f = (£，…，f ), 由迭代
xn 1 二 Mxn f (9)
确定向量序列xn,n=0,1,….如果xn收敛到向量x* ,则有
x = Mx f,
则x*为方程组⑺的解.
假设矩阵A的对角元素ay =0,i =1,2,…n。令D = diag(a11/ ,ann)，则我们
可以将方程(7)改写成
Dx =(D - A)x b
或
x = (I - D，A)x D( 10) 由上式即可确定一种迭代格式。
如果即将矩阵(I -D’A)分解为U • L ,其中L,U分别为下三角阵与上三角阵，贝9( 10)可以进一步改成
(I - L)x =Ux D^b
或
x = ( I -『U x (卜 1 b (11)
上式又可确定另一种迭代格式。
(3) 非线性方程组的迭代求解理论
类似于单变量的方程组及线性方