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第三讲 托勒密定理及其应用.doc

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第三讲 托勒密定理及其应用.doc

上传人:慢慢老师 2021/9/23 文件大小:102 KB

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第三讲 托勒密定理及其应用.doc

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文档介绍:义乌一中提前考试辅导教材----几何部分
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第三讲 托勒密定理及其应用
托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和).
即:
E
D
C
B
A
一、直接应用托勒密定理
例1 如图2,P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点
(不与B、C重合), 求证:PA=PB+PC.
分析:此题证法甚多,一般是截长、补短,构造全等三角形,均为繁冗.
若借助托勒密定理论证,则有PA·BC=PB·AC+PC·AB,
∵AB=BC=AC. ∴PA=PB+PC.
二、完善图形 借助托勒密定理
例2 证明“勾股定理”:
在Rt△ABC中,∠B=90°,求证:AC2=AB2+BC2
义乌一中提前考试辅导教材----几何部分
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证明:如图,作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD,显然ABCD是圆内接四边形.
由托勒密定理,有
AC·BD=AB·CD+AD·BC. ①
又∵ABCD是矩形,
∴AB=CD,AD=BC,AC=BD. ②
把②代人①,得AC2=AB2+BC2.
例3 如图,在△ABC中,∠A的平分 线交外接∠圆于D,连结BD,求证:AD·BC=BD(AB+AC).
证明:连结CD,依托勒密定理,
有AD·BC=AB·CD+AC·BD.
∵∠1=∠2,∴ BD=CD.
故 AD·BC=AB·BD+AC·BD=BD(AB+AC).
三、构造图形 借助托勒密定理
例4 若a、b、x、y是实数,且a2+b2=1,x2+y2=1.
求证:ax+by≤1.
证明:如图作直径AB=1的圆,在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB,
使AC=a,BC=b,BD=x,AD=y.
由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的.
 据托勒密定理,有AC·BD+BC·AD=AB·CD.
 ∵CD≤AB=1,∴ax+by≤1.
四、巧变原式 妙构图形,借助托勒密定理
例5 已知a、b、c是△ABC的三边,且a2=b(b+c),求证:∠A=2∠B.
分析:将a2=b(b+c)变形为a·a=b·b+bc,从而联想到托勒密定理,进而构造一个等腰梯形,使两腰为b,两对角线为a,一底边为c.
证明:如图 ,作△ABC的外接圆,以 A为圆心,BC为半径作弧交圆于D,连结BD、DC、DA.
∵AD=BC,
义乌一中提前考试辅导教材----几何部分
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∴∠ABD=∠BAC.
又∵∠BDA=∠ACB(对同弧),∴∠1=∠2.
 
依托勒密定理,有BC·AD=AB·CD+BD·AC.