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第三讲 托勒密定理及其应用
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．
即：
E
D
C
B
A
一、直接应用托勒密定理
例1 如图2，P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点
(不与B、C重合)， 求证：PA=PB＋PC．
分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗．
若借助托勒密定理论证，则有PA·BC=PB·AC＋PC·AB，
∵AB=BC=AC． ∴PA=PB+PC．
二、完善图形 借助托勒密定理
例2 证明“勾股定理”：
在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：AC2=AB2＋BC2
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证明：如图，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是圆内接四边形．
由托勒密定理，有
AC·BD=AB·CD＋AD·BC． ①
又∵ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AC=BD． ②
把②代人①，得AC2=AB2＋BC2．
例3 如图，在△ABC中，∠A的平分 线交外接∠圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)．
证明：连结CD，依托勒密定理，
有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD．
∵∠1=∠2，∴ BD=CD．
故 AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)．
三、构造图形 借助托勒密定理
例4 若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1．
求证：ax＋by≤1．
证明：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB，
使AC＝a，BC=b，BD＝x，AD＝y．
由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的．
据托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD．
∵CD≤AB＝1，∴ax＋by≤1．
四、巧变原式 妙构图形，借助托勒密定理
例5 已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b＋c)，求证：∠A=2∠B．
分析：将a2=b(b＋c)变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c．
证明：如图 ，作△ABC的外接圆，以 A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连结BD、DC、DA．
∵AD=BC，
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∴∠ABD=∠BAC．
又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2．
依托勒密定理，有BC·AD=AB·CD＋BD·AC．